У равенства |u| = |v| нужно проверить две возможности: u = v или u = −v. Поэтому в уравнении с двумя линейными выражениями решают две обычные линейные ветви, собирают различные корни и подставляют каждый в исходное равенство модулей. Ограничиваться одной ветвью нельзя: так легко потерять ответ.
Ниже — практикум именно для равенства модулей двух линейных выражений. В трёх примерах показано решение, затем идут восемь самостоятельных задач и ключи. Все ответы относятся к действительным числам; периодические десятичные записи заменены точными дробями.
Почему возникают две ветви
Модуль показывает неотрицательное значение числа: например, |−7| = 7 и |7| = 7. Поэтому два выражения могут иметь одинаковые модули, когда их значения равны или противоположны. Ноль тоже возможен: |0| = 0. Это правило для работы с абсолютной величиной согласуется с изложением в OpenStax, Intermediate Algebra 2e; уравнения и числовые примеры здесь другие.
В записи |2x − 3| = |x + 2| первая ветвь — 2x − 3 = x + 2, вторая — 2x − 3 = −(x + 2). Скобки во второй ветви важны: −(x + 2) равно −x − 2, а не −x + 2. Это не требование заранее угадать знак выражения внутри модуля. Две ветви уже охватывают оба способа получить равные модули.
После решения ветвей проверяйте оба числа в исходной строке со знаками модуля. В ключах для каждого корня указано общее значение левой и правой частей. Оно подтверждает равенство, но не заменяет запись ветвей: по одним результатам подстановки нельзя показать, что другие корни не пропущены.
Три примера с разбором
Пример 1. Одна ветвь даёт целое число, другая — дробь
Решите в действительных числах: |2x − 3| = |x + 2|. Укажите все различные корни.
Первая ветвь: 2x − 3 = x + 2. После вычитания x и прибавления 3 получаем x = 5.
Вторая ветвь: 2x − 3 = −(x + 2) = −x − 2. Тогда 3x = 1 и x = 1/3.
Проверим в исходном равенстве. При x = 5 имеем |2×5 − 3| = |7| = 7 и |5 + 2| = 7. При x = 1/3 слева |2/3 − 3| = |−7/3| = 7/3, справа |1/3 + 2| = 7/3. Ответ: x = 1/3, 5.
Вторая подстановка показывает смысл модуля особенно ясно: выражения внутри знаков модуля противоположны, но их модули равны.
Пример 2. Десятичная запись без округления
Решите в действительных числах: |3x − 4| = |2x + 3|. Укажите все различные корни.
Из 3x − 4 = 2x + 3 получаем x = 7. Из 3x − 4 = −(2x + 3), то есть 3x − 4 = −2x − 3, получаем 5x = 1 и x = 1/5 = 0,2.
Для x = 7 модули равны: |21 − 4| = 17 и |14 + 3| = 17. Для x = 1/5 слева |3/5 − 4| = |−17/5| = 17/5, справа |2/5 + 3| = 17/5. Ответ: x = 0,2, 7. Число 0,2 здесь точное, а не округление дроби 1/5.
Пример 3. Минус относится ко всей правой части
Решите в действительных числах: |4x − 5| = |3x + 4|. Укажите все различные корни.
Равные выражения дают 4x − 5 = 3x + 4, откуда x = 9. Противоположные выражения дают 4x − 5 = −(3x + 4) = −3x − 4. Значит, 7x = 1 и x = 1/7.
При x = 9 исходные части равны 31: |36 − 5| = |27 + 4| = 31. При x = 1/7 получаем |4/7 − 5| = |−31/7| = 31/7 и |3/7 + 4| = 31/7. Ответ: x = 1/7, 9.
Если во второй ветви ошибочно оставить +4 вместо −4, получится другой корень. Запись −(3x + 4) до раскрытия скобок помогает увидеть, что меняются знаки обоих слагаемых.
Восемь задач для самостоятельной работы
Решите в действительных числах; для каждого уравнения укажите все различные корни. Записывайте обе ветви отдельно. Если одна дала дробь, не переводите её в приблизительное десятичное число: точный ответ удобнее для проверки.
- |5x − 6| = |x + 5|.
- |6x − 7| = |2x + 2|.
- |7x − 8| = |3x + 3|.
- |8x − 9| = |x + 4|.
- |9x − 10| = |2x + 5|.
- |10x − 11| = |3x + 2|.
- |11x − 12| = |x + 3|.
- |12x − 13| = |2x + 4|.
Не выбирайте только «плюс» или только «минус» по внешнему виду уравнения. В каждой задаче сначала решите равенство выражений, затем равенство одного выражения противоположному другому. После этого сравните полученные числа: если ветви когда-нибудь дадут один и тот же x, в ответе его записывают один раз.
Ключи: ветви и подстановка
1. Ответ: x = 1/6, 2,75
Из 5x − 6 = x + 5 следует 4x = 11, поэтому x = 11/4 = 2,75. Из 5x − 6 = −(x + 5) следует 6x = 1, поэтому x = 1/6.
Проверка: при x = 11/4 обе части исходного уравнения равны 31/4: |55/4 − 6| = |11/4 + 5| = 31/4. При x = 1/6 они равны 31/6: |5/6 − 6| = |1/6 + 5| = 31/6. Оба корня подходят.
2. Ответ: x = 0,625, 2,25
Первая ветвь, 6x − 7 = 2x + 2, даёт 4x = 9 и x = 9/4 = 2,25. Вторая, 6x − 7 = −(2x + 2), даёт 8x = 5 и x = 5/8 = 0,625.
Для x = 9/4 модули равны 13/2: |6×9/4 − 7| = |2×9/4 + 2| = 13/2. Для x = 5/8 оба равны 13/4: |6×5/8 − 7| = |2×5/8 + 2| = 13/4. Здесь обе десятичные записи конечны и точны.
3. Ответ: x = 0,5, 2,75
Ветвь 7x − 8 = 3x + 3 приводит к 4x = 11 и x = 11/4 = 2,75. Ветвь 7x − 8 = −(3x + 3) приводит к 10x = 5 и x = 1/2 = 0,5.
При x = 11/4 получаем |7×11/4 − 8| = |3×11/4 + 3| = 45/4. При x = 1/2 получаем |7/2 − 8| = |3/2 + 3| = 9/2. Значения модулей в двух проверках различаются — это нормально: равенство требуется внутри каждой подстановки, а не между разными корнями.
4. Ответ: x = 5/9, 13/7
Из 8x − 9 = x + 4 выходит 7x = 13, значит x = 13/7. Из 8x − 9 = −(x + 4) выходит 9x = 5, значит x = 5/9. Эти дроби не стоит округлять: округлённое число уже не обязано точно удовлетворять исходному равенству.
Проверка для x = 13/7: |8×13/7 − 9| = |13/7 + 4| = 41/7. Для x = 5/9: |8×5/9 − 9| = |5/9 + 4| = 41/9. Обе ветви дали подходящие корни.
5. Ответ: x = 5/11, 15/7
Первая ветвь: 9x − 10 = 2x + 5, поэтому 7x = 15 и x = 15/7. Вторая: 9x − 10 = −(2x + 5), поэтому 11x = 5 и x = 5/11.
При x = 15/7 левая и правая части исходного равенства равны 65/7: |9×15/7 − 10| = |2×15/7 + 5| = 65/7. При x = 5/11 обе равны 65/11: |9×5/11 − 10| = |2×5/11 + 5| = 65/11. Записаны два разных корня.
6. Ответ: x = 9/13, 13/7
Из 10x − 11 = 3x + 2 получается 7x = 13 и x = 13/7. Из 10x − 11 = −(3x + 2) получается 13x = 9 и x = 9/13. Число 13 встречается в обеих дробях, но это не делает корни одинаковыми.
Подставляем x = 13/7: |10×13/7 − 11| = |3×13/7 + 2| = 53/7. Для x = 9/13: |10×9/13 − 11| = |3×9/13 + 2| = 53/13. В каждом случае левая часть равна правой.
7. Ответ: x = 0,75, 1,5
В равной ветви 11x − 12 = x + 3, откуда 10x = 15 и x = 3/2 = 1,5. В противоположной ветви 11x − 12 = −(x + 3), откуда 12x = 9 и x = 3/4 = 0,75.
Проверка: при x = 3/2 имеем |11×3/2 − 12| = |3/2 + 3| = 9/2. При x = 3/4 имеем |11×3/4 − 12| = |3/4 + 3| = 15/4. Не путайте 3/2 и 3/4 при переводе в десятичную запись.
8. Ответ: x = 9/14, 1,7
Первая ветвь: 12x − 13 = 2x + 4. Тогда 10x = 17 и x = 17/10 = 1,7. Вторая ветвь: 12x − 13 = −(2x + 4). Тогда 14x = 9 и x = 9/14.
При x = 17/10 обе части равны 37/5: |12×17/10 − 13| = |2×17/10 + 4| = 37/5. При x = 9/14 обе равны 37/7: |12×9/14 − 13| = |2×9/14 + 4| = 37/7. Дробь 9/14 оставляем точной, без приближённой десятичной записи.
Во всех восьми задачах обе ветви дали по одному разному корню, и каждый проверен в исходном равенстве. Если вы решаете такие задания при подготовке к ОГЭ: как решать уравнения и проверять корни, этот практикум помогает отработать именно равенство двух линейных выражений под знаками модуля; остальные виды уравнений требуют своего разбора.