В линейном уравнении с параметром нужно получить ответ для каждого допустимого значения параметра. Обычно решение делится на два случая: коэффициент при x равен нулю или не равен ему. Если сразу разделить на выражение с параметром, можно потерять случай, в котором это выражение обращается в ноль.
Параметр удобно обозначать a и считать фиксированным числом внутри одного уравнения. Мы не ищем одновременно x и a как две неизвестные. Мы выясняем, каким будет решение относительно x при разных значениях a, а затем записываем все случаи в ответе.
Приведите уравнение к виду K(a)x = B(a)
Здесь K(a) — коэффициент при x, а B(a) — правая часть. После преобразований возможны три исхода:
- K(a) ≠ 0: один корень x = B(a)/K(a).
- K(a) = 0 и B(a) = 0: равенство 0 · x = 0 верно при любом действительном x.
- K(a) = 0 и B(a) ≠ 0: равенство 0 · x = B(a) неверно ни при каком x.
Эта классификация приведена в учебном материале Фоксфорда о линейных уравнениях с параметром. Обратите внимание на первый случай: если правая часть равна нулю, а коэффициент при x не равен нулю, уравнение всё равно имеет один корень — x = 0.
До деления на K(a) найдите все значения параметра, при которых K(a) = 0. Их часто называют особыми или критическими значениями. При каждом таком значении подставьте число в исходное уравнение и посмотрите, что получилось. Только после этого записывайте формулу для остальных a.
Когда особый случай даёт любое x
Решим (a − 2)x = a² − 4.
Коэффициент при x обращается в ноль при a = 2. Подставляем именно это значение в исходное уравнение: (2 − 2)x = 2² − 4, то есть 0 · x = 0. Равенство верно для любого действительного x.
Теперь берём a ≠ 2. Можно делить на a − 2. Правая часть раскладывается как a² − 4 = (a − 2)(a + 2), поэтому
x = (a² − 4)/(a − 2) = a + 2 при a ≠ 2.
Полный ответ состоит из двух строк по смыслу: при a = 2 подходит любое действительное x; при a ≠ 2 единственный корень x = a + 2.
Почему нельзя просто сократить a − 2 и написать x = a + 2 для всех a? Сокращение равносильно делению на a − 2. При a = 2 делитель равен нулю, а исходное уравнение в этом случае допускает любое x. Формула x = a + 2 ошибочно оставила бы лишь x = 4.
Полезна прямая проверка обычного значения параметра. Пусть a = 5. По формуле x = 7. Исходное уравнение даёт (5 − 2) · 7 = 5² − 4, или 21 = 21. Эта проверка подтверждает вычисление для выбранного a, но отдельную проверку a = 2 она не заменяет.
Когда особый случай не имеет решений
Теперь рассмотрим (a − 2)x = 5. Коэффициент при x снова равен нулю при a = 2. Но после подстановки выходит 0 · x = 5. Такого действительного x нет.
Для всех a ≠ 2 коэффициент при x ненулевой, поэтому корень один:
x = 5/(a − 2).
Итак, одинаковый множитель a − 2 перед x ещё не говорит, что произойдёт при a = 2. Всё решает правая часть после подстановки. В предыдущем примере получилось 0 = 0, здесь — 0 = 5.
Проверим, например, a = −3. Формула даёт x = 5/(−5) = −1. В исходном уравнении (−3 − 2) · (−1) = 5. Равенство выполнено. Такая проверка помогает найти ошибку со знаком в знаменателе.
Когда особых значений несколько
Коэффициент при x может содержать произведение. Решим уравнение (a − 1)(a + 3)x = a + 3.
Сначала найдём нули коэффициента: a = 1 и a = −3. Проверяем их по отдельности в исходной записи.
При a = 1 получаем 0 · x = 4. Решений нет. При a = −3 выходит 0 · x = 0. Подходит любое действительное x.
При a ≠ 1 и a ≠ −3 оба множителя в коэффициенте ненулевые. Теперь можно сократить a + 3 и получить x = 1/(a − 1). Полный ответ: при a = 1 решений нет; при a = −3 подходит любое действительное x; при остальных a единственный корень x = 1/(a − 1).
Этот пример показывает, почему удобнее сначала выписать все нули коэффициента, а затем сокращать дробь. После сокращения a + 3 исчезает из записи, хотя значение a = −3 всё ещё требует собственного ответа.
Как найти параметр по заданному корню
Иногда в условии уже дан корень x, а найти нужно a. Тогда подставьте заданный x в исходное уравнение, решите получившееся уравнение относительно a и проверьте результат.
Пусть уравнение (a − 1)x = 2a + 1 должно иметь корень x = 3. Подстановка даёт 3(a − 1) = 2a + 1. Раскрываем скобки: 3a − 3 = 2a + 1. Отсюда a = 4.
Проверка в исходном уравнении: при a = 4 и x = 3 левая часть равна (4 − 1) · 3 = 9, правая — 2 · 4 + 1 = 9. Значение a = 4 подходит.
Здесь не нужно сначала выводить общую формулу x через a. Прямая подстановка корня короче и сохраняет исходное уравнение перед глазами. При вычислениях вслух бывает легче заметить потерянный знак; этот приём отдельно разобран в статье «Считает вслух — находит ошибку сам: приём для домашки по математике».
Если после подстановки заданного x получается тождество, заданный корень подходит при всех значениях a, для которых исходное уравнение имеет смысл. Если получается невозможное равенство, подходящих значений параметра нет. Не стоит заранее предполагать, что ответ обязательно будет одним числом.
Практика: три разных итога особого случая
Задание 1. Решите (a + 1)x = 2 для всех a.
Коэффициент равен нулю при a = −1. Подстановка даёт 0 · x = 2, поэтому при a = −1 решений нет. При a ≠ −1 получаем единственный корень x = 2/(a + 1). Например, при a = 1 формула даёт x = 1, и исходное уравнение превращается в 2 · 1 = 2.
Задание 2. Решите (a − 3)x = a − 3 для всех a.
При a = 3 обе части равны нулю, поэтому подходит любое действительное x. При a ≠ 3 делим на a − 3 и получаем x = 1. В ответе обязательно остаются оба случая. Если написать только x = 1, будет потеряно множество решений при a = 3.
Задание 3. Решите ax = 4a для всех a.
При a = 0 выходит 0 = 0: любое действительное x. При a ≠ 0 деление на a даёт x = 4. Это самый короткий пример, на котором видно, почему даже очевидное сокращение требует проверки нулевого значения.
Во всех трёх заданиях степень уравнения определялась по x. Даже если коэффициент или правая часть содержат a², уравнение остаётся линейным относительно x, пока x входит только в первой степени и не умножается само на себя.
Как записать ответ без пропусков
Сначала укажите каждое особое значение параметра и число решений при нём. Затем задайте оставшийся диапазон значений a и формулу единственного корня. Например: «При a = 2 решений нет; при a ≠ 2, x = 5/(a − 2)». Такая запись сразу сообщает, где формула допустима.
Перед сдачей проверьте две вещи на исходном уравнении. Во-первых, подставлены ли все значения, которые обращают коэффициент при x в ноль. Во-вторых, не делили ли вы на выражение, равное нулю в одном из уже выделенных случаев. Если оба пункта выполнены, классификация охватывает все значения параметра.