Сумма трёх внутренних углов плоского треугольника равна 180°. Чтобы найти третий угол по двум известным, вычтите их величины из 180°. Если два угла связаны между собой, обозначьте один через x и составьте уравнение.
В практикуме четыре разобранных примера и восемь самостоятельных задач. После условий приведены ответы с вычислениями и проверкой суммы.
Как записать сумму внутренних углов
Обозначим внутренние углы треугольника буквами a, b и c. Тогда:
a + b + c = 180°.
Каждый из трёх углов положителен. Это правило относится к обычному плоскому евклидову треугольнику; оно приведено в учебнике OpenStax.
Если известны a и b, третий угол равен c = 180° − a − b. Можно сначала сложить известные углы, а затем вычесть их сумму из 180°. Ответ записывают в градусах и проверяют сложением всех трёх значений.
В задачах на подготовку к экзамену одной числовой проверки может быть недостаточно для доказательства. Для более широкого разбора пригодится статья «Подготовка к ОГЭ по геометрии: чертежи, свойства и доказательства».
Четыре примера поиска третьего угла
1. Известны углы 38° и 57°
Два внутренних угла треугольника 38° и 57°. Найдите третий.
Сложим известные величины: 38° + 57° = 95°. Оставшаяся часть суммы составляет 180° − 95° = 85°.
Ответ: 85°. Проверка: 38° + 57° + 85° = 180°. Найденный угол положителен.
2. Известны углы 46° и 79°
Два внутренних угла треугольника 46° и 79°. Найдите третий.
На два известных угла приходится 46° + 79° = 125°. Вычтем эту сумму из 180°: 180° − 125° = 55°.
Ответ: 55°. Проверка: 46° + 79° + 55° = 180°. Все три значения положительны.
3. Известны углы 61° и 72°
Два внутренних угла треугольника 61° и 72°. Найдите третий.
Сначала найдём сумму заданных углов: 61° + 72° = 133°. Для третьего остаётся 180° − 133° = 47°.
Ответ: 47°. Проверка: 61° + 72° + 47° = 180°. Полученное значение положительно.
4. Известны углы 27° и 105°
Два внутренних угла треугольника 27° и 105°. Найдите третий.
Сумма данных углов равна 27° + 105° = 132°. Поэтому третий угол составляет 180° − 132° = 48°.
Ответ: 48°. Проверка: 27° + 105° + 48° = 180°. Тот факт, что один из заданных углов больше 90°, не меняет правила суммы.
Как составить уравнение для двух углов
Когда неизвестны два угла, сначала выразите их через одну величину. Если второй угол в два раза больше третьего, обозначьте третий через x, а второй — через 2x. Если два угла равны, обозначьте каждый через x.
Затем прибавьте к этим выражениям известный угол и приравняйте сумму к 180°. После нахождения x вычислите оба неизвестных угла. Проверьте не только сумму, но и связь из условия: например, действительно ли один найденный угол вдвое больше другого или действительно ли два угла равны.
Если требуется исправить ошибочную запись трёх углов, сначала сложите записанные значения. В заданиях ниже первые два угла заданы точно, поэтому менять нужно третий: вычесть первые два из 180°. После исправления снова сложите все три угла.
Восемь задач на два неизвестных угла и исправление записи
В задачах 1–4 найдите оба неизвестных угла. В задачах 5–8 определите, верна ли запись, и исправьте третий угол, сохранив первые два.
- Один внутренний угол треугольника 60°. Второй в 2 раза больше третьего. Найдите два неизвестных угла.
- Один внутренний угол треугольника 70°. Два остальных угла равны. Найдите два неизвестных угла.
- Один внутренний угол треугольника 30°. Второй в 4 раза больше третьего. Найдите два неизвестных угла.
- Один внутренний угол треугольника 80°. Второй в 3 раза больше третьего. Найдите два неизвестных угла.
- Ученик записал внутренние углы треугольника: 45°, 55°, 90°. Можно ли считать эту запись верной? Первые два угла заданы точно; исправьте третий.
- Ученик записал внутренние углы треугольника: 33°, 67°, 90°. Можно ли считать эту запись верной? Первые два угла заданы точно; исправьте третий.
- Ученик записал внутренние углы треугольника: 58°, 62°, 70°. Можно ли считать эту запись верной? Первые два угла заданы точно; исправьте третий.
- Ученик записал внутренние углы треугольника: 29°, 71°, 90°. Можно ли считать эту запись верной? Первые два угла заданы точно; исправьте третий.
Ответы с проверкой суммы и условий
- 40° и 80°. Пусть третий угол равен x, второй — 2x. Тогда x + 2x + 60 = 180, откуда 3x = 120 и x = 40°. Второй угол равен 80°. Проверка: 60° + 40° + 80° = 180°; 80° вдвое больше 40°.
- 55° и 55°. Пусть каждый неизвестный угол равен x. Из x + x + 70 = 180 получаем 2x = 110 и x = 55°. Проверка: 70° + 55° + 55° = 180°; два угла равны.
- 30° и 120°. Пусть третий угол равен x, второй — 4x. Тогда x + 4x + 30 = 180, поэтому 5x = 150 и x = 30°. Второй угол равен 120°. Проверка: 30° + 30° + 120° = 180°; 120° в четыре раза больше 30°.
- 25° и 75°. Пусть третий угол равен x, второй — 3x. Из x + 3x + 80 = 180 следует 4x = 100 и x = 25°. Второй угол равен 75°. Проверка: 80° + 25° + 75° = 180°; 75° втрое больше 25°.
- Нет; третий угол — 80°. Записанная сумма равна 45° + 55° + 90° = 190°. Исправляем: 180° − 45° − 55° = 80°. Проверка: 45° + 55° + 80° = 180°.
- Нет; третий угол — 80°. Записанная сумма равна 33° + 67° + 90° = 190°. Исправляем: 180° − 33° − 67° = 80°. Проверка: 33° + 67° + 80° = 180°.
- Нет; третий угол — 60°. Записанная сумма равна 58° + 62° + 70° = 190°. Исправляем: 180° − 58° − 62° = 60°. Проверка: 58° + 62° + 60° = 180°.
- Нет; третий угол — 80°. Записанная сумма равна 29° + 71° + 90° = 190°. Исправляем: 180° − 29° − 71° = 80°. Проверка: 29° + 71° + 80° = 180°.
Во всех восьми ответах углы положительны. В первых четырёх выполнено и дополнительное условие о равенстве или отношении двух углов; в последних четырёх исправлен именно третий угол.