Чтобы найти площадь треугольника, умножьте длину основания на высоту, проведённую к этому основанию, и разделите результат на два. Если известны площадь и одна из этих величин, можно найти другую обратным вычислением.
Ниже — четыре разобранных примера и восемь задач для самостоятельного решения. Ответы с вычислениями находятся после условий.
Какие длины подставлять в формулу площади
Обозначим площадь буквой S, выбранное основание — b, а высоту к нему — h. Формула записывается так:
S = b · h / 2.
Высота перпендикулярна прямой, на которой лежит выбранное основание. Другая сторона треугольника не обязательно является высотой. Высота может проходить и вне треугольника. Формула площади приведена в учебнике OpenStax.
Основание и высоту перед вычислением записывают в одинаковых единицах длины. В задачах ниже обе величины даны в сантиметрах, поэтому площадь получается в квадратных сантиметрах: см². Если из площади в см² и длины в см находят другую длину, ответ записывают в сантиметрах.
Площадь и периметр измеряют разные величины. Если их обозначения или единицы путаются, поможет статья «Периметр и площадь: как объяснить ребёнку разницу».
Четыре примера вычисления площади
1. Основание 9 см и высота 8 см
Основание треугольника 9 см, высота к нему 8 см. Найдите площадь.
Подставим данные в формулу: S = 9 · 8 / 2. Произведение равно 72, а его половина — 36.
Ответ: 36 см².
Проверим обратным действием: удвоенная площадь равна 72 см², а произведение основания и высоты — 9 · 8 = 72 см². Значения совпали.
2. Основание 14 см и высота 5 см
Основание треугольника 14 см, высота к нему 5 см. Найдите площадь.
Получаем S = 14 · 5 / 2 = 70 / 2 = 35 см². Можно сначала разделить основание на два: 14 / 2 = 7, затем умножить 7 на 5.
Ответ: 35 см².
Проверка: 2 · 35 = 70 и 14 · 5 = 70. Деление на два не забыто.
3. Основание 11 см и высота 6 см
Основание треугольника 11 см, высота к нему 6 см. Найдите площадь.
Умножим длины и разделим результат пополам: S = 11 · 6 / 2 = 66 / 2 = 33 см².
Ответ: 33 см².
Проверка: 2 · 33 = 66, столько же составляет произведение 11 · 6. В ответе стоят квадратные сантиметры, поскольку найдена площадь.
4. Основание 16 см и высота 9 см
Основание треугольника 16 см, высота к нему 9 см. Найдите площадь.
По формуле S = 16 · 9 / 2 = 144 / 2 = 72 см². Другой порядок действий даёт тот же результат: 16 / 2 · 9 = 8 · 9 = 72.
Ответ: 72 см².
Проверка: 2 · 72 = 144 и 16 · 9 = 144. Площадь получена из заданной пары основания и высоты.
Как найти высоту или основание по площади
Из формулы S = b · h / 2 следует, что произведение основания и высоты равно удвоенной площади: b · h = 2S. Поэтому для обратных задач удобны две записи:
- h = 2S / b — высота равна удвоенной площади, делённой на основание;
- b = 2S / h — основание равно удвоенной площади, делённой на высоту к нему.
Сначала определите, какая длина неизвестна. Затем удвойте площадь и разделите её на известную длину. Полученный ответ можно проверить исходной формулой: подставить обе длины и убедиться, что вышла площадь из условия.
Не делите площадь на известную длину без предварительного умножения на два: так получится только половина искомой длины. И не записывайте ответ в см², если искали высоту или основание: это длины, их единица здесь — сантиметр.
Восемь задач на высоту и основание
В задачах 1–4 найдите высоту к указанному основанию. В задачах 5–8 найдите основание, к которому дана высота. Для каждой задачи запишите формулу и ответ с единицей измерения.
- Площадь треугольника 42 см², основание 12 см. Найдите высоту к нему.
- Площадь треугольника 60 см², основание 15 см. Найдите высоту к нему.
- Площадь треугольника 45 см², основание 18 см. Найдите высоту к нему.
- Площадь треугольника 55 см², основание 10 см. Найдите высоту к нему.
- Площадь треугольника 39 см², высота к выбранному основанию 6 см. Найдите основание.
- Площадь треугольника 34 см², высота к выбранному основанию 4 см. Найдите основание.
- Площадь треугольника 84 см², высота к выбранному основанию 8 см. Найдите основание.
- Площадь треугольника 63 см², высота к выбранному основанию 9 см. Найдите основание.
Ответы с обратной подстановкой
- 7 см. h = 2 · 42 / 12 = 84 / 12 = 7 см. Проверка площади: 12 · 7 / 2 = 42 см².
- 8 см. h = 2 · 60 / 15 = 120 / 15 = 8 см. Проверка: 15 · 8 / 2 = 60 см².
- 5 см. h = 2 · 45 / 18 = 90 / 18 = 5 см. Проверка: 18 · 5 / 2 = 45 см².
- 11 см. h = 2 · 55 / 10 = 110 / 10 = 11 см. Проверка: 10 · 11 / 2 = 55 см².
- 13 см. b = 2 · 39 / 6 = 78 / 6 = 13 см. Проверка: 13 · 6 / 2 = 39 см².
- 17 см. b = 2 · 34 / 4 = 68 / 4 = 17 см. Проверка: 17 · 4 / 2 = 34 см².
- 21 см. b = 2 · 84 / 8 = 168 / 8 = 21 см. Проверка: 21 · 8 / 2 = 84 см².
- 14 см. b = 2 · 63 / 9 = 126 / 9 = 14 см. Проверка: 14 · 9 / 2 = 63 см².
При проверке сравнивайте не только числа, но и то, что они обозначают. В первых четырёх ответах найдена высота, в остальных — основание. Подстановка возвращает площадь из условия, а значит, каждое вычисление согласуется с исходными данными.