Когда в одном выражении встретились 3/4, 0,6 и 5/6, сначала выберите удобную общую форму записи. Затем действуйте в обычном порядке: скобки, умножение и деление, сложение и вычитание. Например, 3/4+0,6·5/6=3/4+3/5·5/6=3/4+1/2=5/4.
Самая частая потеря точности возникает раньше вычислений: 1/3 заменяют на 0,33, а затем пишут знак равенства. Но 1/3=0,3333…, поэтому 0,33 — приближение. В выражениях с такой дробью удобнее перейти к обыкновенным дробям и оставить ответ точным.
1. Посмотрите на выражение целиком
Не нужно заранее переводить в десятичную форму каждую обыкновенную дробь. Сначала отметьте скобки и действия. Если есть деление на дробь, несколько знаменателей или дробь вроде 1/3, обычно проще работать с обыкновенными дробями. Если все дроби легко дают конечную десятичную запись, возможен и другой путь.
Для перехода из десятичной записи в обыкновенную посчитайте знаки после запятой: 0,6=6/10=3/5, 1,25=125/100=5/4, 0,08=8/100=2/25. Сокращение уменьшает числа в следующих шагах, но его можно выполнить и позже, если так понятнее.
Обратный переход делайте только там, где он точен и полезен. Например, 7/8=0,875. Тогда 0,125+7/8=0,125+0,875=1. Запись 1/6=0,166 была бы неточной: после трёх знаков дробь не заканчивается.
Выбор формы зависит от конкретных чисел, а не от правила «всегда переводить в десятичные» или «всегда переводить в обыкновенные». Важно, чтобы каждый знак равенства соединял действительно равные значения.
2. Сначала выполните скобки
Рассмотрим выражение (1,25-2/3):0,5. Переведём конечные десятичные дроби: 1,25=5/4, 0,5=1/2. В скобках получаем 5/4-2/3. Общий знаменатель — 12, поэтому 15/12-8/12=7/12.
Теперь разделим 7/12 на 1/2: 7/12·2/1=7/6. Итак, (1,25-2/3):0,5=7/6. Если сначала поделить 2/3 на 0,5, получится уже другое выражение: скобки показывают, что вычитание нужно закончить до деления.
При длинной записи полезно выписывать промежуточную строку после каждого действия. Так видно, какое число заменило скобку и что ещё осталось вычислить. Если ошибка часто возникает при переписывании, пригодится приём из статьи «Считает вслух — находит ошибку сам: приём для домашки по математике»: произнести действие вместе с его результатом перед переходом к следующей строке.
3. Умножение и деление делайте до сложения
В выражении 0,75:(3/8)-1/2 первым выполняется деление. Заменим 0,75 на 3/4: (3/4):(3/8)=(3/4)·(8/3)=2. После этого остаётся 2-1/2=3/2, или 1,5.
Типичная ошибка — сначала вычесть 3/8-1/2 или 0,75-1/2, потому что числа стоят рядом на странице. Порядок действий определяется знаками и скобками, а не расстоянием между числами.
Умножение и деление имеют одинаковый приоритет и выполняются слева направо. То же относится к сложению и вычитанию. Например, в 1/2:0,25·3/4 сначала 1/2:1/4=2, затем 2·3/4=3/2. Здесь нет оснований сначала перемножать 0,25 и 3/4: скобок вокруг них нет.
4. Для сложения найдите общий знаменатель
Когда обе дроби стали обыкновенными, сложение и вычитание работают привычно. Например, 1/3+0,2=1/3+1/5=5/15+3/15=8/15. Полученная дробь точная. Если задача просит десятичный ответ, 8/15=0,5(3); запись 0,53 уже будет округлением.
Не складывайте числители и знаменатели по отдельности. Для 1/3+1/5 неверно 2/8: треть и пятая часть имеют разный размер. Общий знаменатель 15 позволяет выразить обе доли одинаковыми частями.
С вычитанием действует тот же порядок. 0,4-1/6=2/5-1/6=12/30-5/30=7/30. Если после вычисления получилась неправильная дробь, выделять целую часть необязательно, если в задании не потребовали конкретную форму ответа.
В бытовых расчётах десятичная запись часто кажется привычнее: так записывают суммы и измерения. Но в промежуточных шагах полезно сохранять точные доли. Примеры таких вычислений собраны в статье «Пятнадцать раз в день — и всё математика, которую никто не замечает».
5. Сокращайте там, где это разрешает действие
При умножении дробей можно сократить общий множитель числителя одной дроби и знаменателя другой. Например, 3/5·5/6=3/6=1/2. Это уменьшает вычисления и делает ошибку менее вероятной.
При сложении так поступать нельзя. В выражении 3/5+5/6 пятёрки находятся в разных слагаемых; «зачеркнуть» их и получить 3+1/6 невозможно. Нужно привести дроби к общему знаменателю: 18/30+25/30=43/30.
Перед сокращением при умножении проверьте, какие части действительно являются множителями. Скобка с суммой — одно целое. Например, в 2/3·(3/4+1/2) сначала можно вычислить скобку: 3/4+2/4=5/4, затем 2/3·5/4=5/6. Зачеркнуть 3 из множителя 2/3 только с числом 3/4 внутри скобки нельзя: рядом остаётся ещё 1/2.
6. Проверьте ответ другим коротким путём
Проверка не обязана повторять всё решение. Начните с оценки. В примере (1,25-2/3):0,5 разность в скобках чуть больше половины. Деление на половину должно дать число чуть больше единицы. Ответ 7/6 этому соответствует; ответ 7 или 1/6 вызвал бы сомнение.
Для точной проверки можно подставить ответ в обратное действие. Если (1,25-2/3):0,5=7/6, умножим 7/6 на 0,5=1/2: получится 7/12, ровно столько было в скобках. Такая проверка особенно удобна после деления.
Следите за знаком результата. Если из меньшего числа вычитают большее, ответ отрицателен. Например, 0,2-1/3=1/5-1/3=3/15-5/15=-2/15. Положительное 2/15 указывало бы на потерянный минус.
Если в условии требуется округление, сначала найдите точное значение, затем округлите и поставьте знак приближённого равенства: 8/15≈0,53 до сотых. Запись 8/15=0,53 неверна.
Попробуйте решить три выражения
0,3+1/4. Переведём 0,3 в 3/10. Тогда 3/10+1/4=6/20+5/20=11/20=0,55. Здесь конечная десятичная форма точна.
2/3-0,25·4/5. Сначала умножение: 0,25=1/4, поэтому 1/4·4/5=1/5. Затем 2/3-1/5=10/15-3/15=7/15. Если начать с вычитания, получится неверный порядок действий.
(0,8+1/5):2/3. В скобках 0,8=4/5, а 4/5+1/5=1. Значит, 1:(2/3)=3/2. Здесь перевод одной десятичной дроби помог сразу увидеть единицу в скобках.
В каждом случае путь немного различается, но опорные вопросы одни: что диктуют скобки, какое действие следующее и в какой форме дроби сохраняют точность.
Частые вопросы
Можно ли оставить ответ неправильной дробью?
Да, если условие не требует смешанного числа или десятичной записи. Например, 7/6 — точный и законченный ответ.
Нужно ли сокращать дробь после каждого шага?
Нет. Сокращайте тогда, когда это упрощает следующий шаг. В окончательном ответе обыкновенную дробь обычно приводят к несократимому виду.
Что делать с отрицательной десятичной дробью?
Переводите её вместе со знаком: -0,6=-3/5. Затем соблюдайте обычные правила действий с отрицательными числами.
Как записать ответ, если десятичная дробь бесконечна?
Оставьте точную обыкновенную дробь, например 8/15. Если нужна десятичная форма, можно написать период 0,5(3) или оговорённое в задании округление со знаком ≈.