Разделить число в отношении 2 : 3 — значит представить целое как пять равных долей и отдать одной части две доли, а другой три. Если всего 40 наклеек, одна доля равна 40 : 5 = 8 наклеек. Части составят 2 × 8 = 16 и 3 × 8 = 24 наклейки. Проверка: 16 + 24 = 40, а 16 : 24 = 2 : 3.
В задачах на пропорциональное деление порядок действий один: сложить числа отношения, найти величину одной доли, затем умножить её на число долей для каждой части. После вычислений проверьте и общую сумму, и отношение частей. Одна только проверка суммы не обнаружит, если доли случайно поменяли местами.
Что означают числа в отношении
Условие «разделить 60 рублей между Аней и Борисом в отношении 1 : 2» означает, что Ане приходится одна доля, а Борису две такие же доли. Это не указание отдать Ане 1 рубль, а Борису 2 рубля. Размер доли ещё нужно найти по общей сумме.
В этой задаче всего 1 + 2 = 3 доли. Одна доля равна 60 : 3 = 20 рублей. Аня получает 1 × 20 = 20 рублей, Борис — 2 × 20 = 40 рублей. Вместе 60 рублей; Борису досталось вдвое больше, чем Ане. Оба условия выполнены.
Порядок имён важен. Если в условии сначала назван Борис, а потом Аня и сказано «в отношении 1 : 2», первая доля относится к Борису. Перед вычислением полезно подписать числа: «Борис — 1 доля, Аня — 2 доли». Такая запись занимает одну строку и предотвращает частую ошибку.
Решение задачи с двумя частями
В двух коробках нужно разложить 84 карандаша в отношении 3 : 4. Сколько карандашей окажется в каждой коробке?
Сначала подпишем: первая коробка — 3 доли, вторая — 4 доли. Всего 3 + 4 = 7 долей. Одна доля: 84 : 7 = 12 карандашей. Тогда в первой коробке 3 × 12 = 36 карандашей, во второй 4 × 12 = 48.
Проверяем двумя способами. По общему количеству: 36 + 48 = 84. По отношению: 36 : 48 = 3 : 4, потому что обе части при делении на 12 превращаются в 3 и 4. Ответ: 36 и 48 карандашей.
Если ребёнок получил 252 и 336, скорее всего, он умножил 84 сразу на 3 и 4. Спросите: «Что означает число 84 — весь запас или одна доля?» В условии это весь запас. Прежде чем умножать, нужно выяснить размер одной доли.
Решение задачи с тремя частями
Для трёх команд приготовили 96 карточек. Их распределяют в отношении 2 : 3 : 7: первой команде — две доли, второй — три, третьей — семь. Сколько карточек получит каждая?
Общее число долей: 2 + 3 + 7 = 12. Одна доля: 96 : 12 = 8 карточек. Первой команде достанется 2 × 8 = 16 карточек, второй — 3 × 8 = 24, третьей — 7 × 8 = 56.
Сумма частей: 16 + 24 + 56 = 96. Отношение также сохраняется: 16 : 24 : 56 = 2 : 3 : 7 после деления каждого числа на 8. Проверять стоит все три части. Если сложить только первые две и вычесть их из общего количества, получится третья часть, но отдельная проверка отношения покажет, правильно ли распределены доли.
Три числа в отношении не делают способ сложнее. Меняется лишь число слагаемых при поиске общего количества долей и число итоговых частей. Размер одной доли остаётся одинаковым для всех участников.
Когда ответ получается дробным
Не всякое целое число можно разделить на целые части при заданном отношении. Например, 25 метров ленты делят на две части в отношении 2 : 3. Всего пять долей, одна доля равна 25 : 5 = 5 метров. Здесь обе части целые: 10 и 15 метров.
А если 26 метров ленты делят в том же отношении, одна доля равна 26 : 5 = 5,2 метра. Части составят 2 × 5,2 = 10,4 метра и 3 × 5,2 = 15,6 метра. Их сумма равна 26 метрам; отношение 10,4 : 15,6 равно 2 : 3. Дробный ответ подходит, потому что длину ленты можно измерять с долями метра.
Для предметов, которые нельзя делить на части, важно смотреть на условие. Если 26 целых карандашей требуется разложить строго в отношении 2 : 3, целочисленного решения нет: 26 : 5 не даёт целого числа карандашей в одной доле. Не следует округлять 10,4 и 15,6 до ближайших целых — отношение после округления изменится. В задачах о целых предметах обычно подбирают такое общее количество, которое допускает целые части.
Как распознать задачу и записать решение
Иногда в условии нет слова «отношение»: «Первому отряду дали две одинаковые порции материалов, а второму — три; всего выдали 45 листов». Здесь тоже известны общее количество и число равных долей у каждого получателя. Получаем 2 + 3 = 5 долей, 45 : 5 = 9 листов в доле, затем 18 и 27 листов.
Запись можно сделать короткой, но сохраняйте смысл каждого числа:
- 2 + 3 = 5 — всего долей.
- 45 : 5 = 9 листов — одна доля.
- 9 × 2 = 18 листов — первому отряду.
- 9 × 3 = 27 листов — второму отряду.
Ответ проверяется так: 18 + 27 = 45; 18 : 27 = 2 : 3. Подписи нужны, чтобы было видно, почему выполняется каждое действие, а не только результат вычисления.
Если известно количество одной части, а общего числа нет, задача устроена иначе. Например, «три доли составляют 27 листов» требует сначала найти одну долю по известной части. Такой переход разобран отдельно в статье «Нахождение числа по его части: как решить задачу». Здесь же мы работаем прежде всего с задачами, где целое уже дано.
Самостоятельные задачи
1. Для выставки 72 рисунка распределили между двумя залами в отношении 5 : 4. Сколько рисунков разместили в каждом зале?
2. Три группы собрали 110 открыток. Открытки распределили между группами в отношении 2 : 3 : 5 соответственно. Сколько открыток получила каждая группа?
3. Два отрезка верёвки общей длиной 18 метров должны относиться как 1 : 3. Найдите длину каждого отрезка.
Перед ответами проверьте запись отношений. В первой задаче пять долей относятся к первому залу, четыре — ко второму. Во второй порядок чисел совпадает с порядком групп. В третьей меньшему отрезку соответствует одна доля.
Ответы к самостоятельным задачам
1. Всего 5 + 4 = 9 долей. Одна доля равна 72 : 9 = 8 рисунков. В первом зале 5 × 8 = 40 рисунков, во втором 4 × 8 = 32. Проверка: 40 + 32 = 72; 40 : 32 = 5 : 4.
2. Всего 2 + 3 + 5 = 10 долей. Одна доля: 110 : 10 = 11 открыток. Группы получают 2 × 11 = 22, 3 × 11 = 33 и 5 × 11 = 55 открыток. Проверка: 22 + 33 + 55 = 110; отношение 2 : 3 : 5.
3. Всего 1 + 3 = 4 доли. Одна доля: 18 : 4 = 4,5 метра. Длины отрезков: 4,5 и 13,5 метра. Проверка: 4,5 + 13,5 = 18; 4,5 : 13,5 = 1 : 3.
Частые вопросы
Можно ли поменять местами числа отношения?
Только если одновременно поменять местами подписи частей. Для первого и второго зала запись 5 : 4 означает «первый — пять долей, второй — четыре». Запись 4 : 5 описывает другое распределение между теми же залами.
Почему проверяют отношение, если сумма уже верна?
Сумма показывает, что всё количество распределено. Но, например, части 30 и 42 тоже дают 72, хотя их отношение не равно 5 : 4. Проверка отношения подтверждает второе условие задачи.
Что делать, если в условии сказано «одному на две доли больше»?
Сначала выясните, сколько долей приходится каждому. Фраза о разнице долей сама по себе ещё не задаёт оба числа отношения. Если сказано «первому пять долей, второму на две меньше», второму приходятся три доли, и отношение будет 5 : 3.