Чтобы разложить составное число на простые множители, делите его на подходящие простые числа, пока не останется 1. Затем запишите все найденные делители произведением и умножьте их обратно для проверки. Например, 60 : 2 = 30, 30 : 2 = 15, 15 : 3 = 5, 5 : 5 = 1. Значит, 60 = 2 · 2 · 3 · 5.
В упражнениях важны две проверки: каждый множитель в конце должен быть простым, а их произведение должно давать исходное число. Начать можно с небольших чисел и коротких цепочек деления. Удобнее записывать каждый шаг, чем искать всё разложение в уме.
Сначала отличите простое число от составного
Простое число больше 1 и имеет ровно два натуральных делителя: 1 и само себя. Например, 2, 3, 5 и 7 — простые числа. Составное число больше 1 можно представить произведением меньших натуральных чисел: 12 = 3 · 4.
Число 1 не относят ни к простым, ни к составным. В конце цепочки деления единица служит сигналом остановиться, но в произведение простых множителей её не включают. Например, ответ для 12 — 2 · 2 · 3, а не запись, в которой единица стоит рядом как ещё один простой множитель.
Если школьнику трудно определить, на каких числах заканчивать разложение, сначала полезно разобраться с делителями в статье «Простые числа: как объяснить ребёнку делители». Для самих упражнений достаточно помнить первые простые числа и проверять, можно ли разделить оставшееся число дальше.
Шаг 1. Начните с простого делителя
Возьмём 84. Число чётное, поэтому делим его на 2: 84 : 2 = 42. Результат тоже чётный: 42 : 2 = 21. Затем 21 : 3 = 7 и 7 : 7 = 1. В последовательности делителей получили 2, 2, 3, 7. Записываем 84 = 2 · 2 · 3 · 7.
Проверка умножением не требует возвращаться к делению: 2 · 2 = 4, 3 · 7 = 21, 4 · 21 = 84. Если вышло другое число, нужно найти неверное частное или пропущенный множитель.
Начинать с двойки удобно для чётного числа, но единственного обязательного первого делителя нет. Например, 30 можно начать делить на 2 и получить 2 · 3 · 5. Можно сначала разделить 30 на 5: останется 6, а 6 = 2 · 3. Произведение простых множителей получится тем же; отличается только порядок записи.
Для нечётного числа сначала попробуйте делимость на 3, затем на 5 и другие простые числа. У числа 45 сумма цифр равна 9, поэтому 45 делится на 3: 45 : 3 = 15. Потом 15 : 3 = 5 и 5 : 5 = 1. Ответ: 45 = 3 · 3 · 5. Проверка: 9 · 5 = 45.
Шаг 2. Не останавливайтесь на составном множителе
Запись 72 = 8 · 9 верна как произведение, но разложение на простые множители ещё не закончено. Оба числа можно разложить дальше: 8 = 2 · 2 · 2, а 9 = 3 · 3. Поэтому полный ответ: 72 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3.
Есть и путь последовательного деления: 72 : 2 = 36, 36 : 2 = 18, 18 : 2 = 9, 9 : 3 = 3, 3 : 3 = 1. Получились те же множители. Их обратное произведение даёт 2 · 2 · 2 · 3 · 3 = 8 · 9 = 72.
Повторяющиеся множители можно записать степенью: 72 = 2³ · 3². Такая форма короче, но на первых упражнениях полезно сначала выписать отдельные двойки и тройки. Тогда видно, почему показатель у двойки равен 3, а у тройки — 2.
Упражнения на одну цепочку
Разложите каждое число. Для проверки рядом приведён один возможный порядок деления.
- 36: 36 : 2 = 18, 18 : 2 = 9, 9 : 3 = 3, 3 : 3 = 1. Ответ: 36 = 2 · 2 · 3 · 3 = 2² · 3².
- 50: 50 : 2 = 25, 25 : 5 = 5, 5 : 5 = 1. Ответ: 50 = 2 · 5 · 5 = 2 · 5².
- 63: 63 : 3 = 21, 21 : 3 = 7, 7 : 7 = 1. Ответ: 63 = 3 · 3 · 7 = 3² · 7.
- 80: 80 : 2 = 40, 40 : 2 = 20, 20 : 2 = 10, 10 : 2 = 5, 5 : 5 = 1. Ответ: 80 = 2 · 2 · 2 · 2 · 5 = 2⁴ · 5.
Во втором упражнении два множителя 5: одна пятёрка получилась из 25, другая осталась после первого деления. В четвёртом удобно пересчитать двойки перед записью степени — их четыре.
Шаг 3. Проверьте ответ в обратном порядке
Умножение помогает заметить ошибки, которых не видно в цепочке деления. Представим, что для 90 записали 2 · 3 · 5. Все множители простые, но их произведение равно 30. Значит, одного множителя не хватает.
Правильная цепочка выглядит так: 90 : 2 = 45, 45 : 3 = 15, 15 : 3 = 5, 5 : 5 = 1. Ответ: 90 = 2 · 3 · 3 · 5. Проверка: 2 · 9 · 5 = 90. Здесь пропущенная тройка сразу объясняет, почему ошибочный ответ был в три раза меньше исходного числа.
Можно проверять по группам. Для 120 получится 2 · 2 · 2 · 3 · 5. Сначала умножьте три двойки и пару 3 · 5: 8 · 15 = 120. Группировка меняет удобство счёта, но сохраняет все множители.
Проверка произведением доказывает, что записанные множители дают исходное число. Отдельно посмотрите, простые ли они. Запись 120 = 8 · 15 проходит проверку умножением, однако числа 8 и 15 составные, поэтому это ещё не полный ответ на упражнение.
Упражнения: разложите и найдите ошибку
1. Разложите 96. Последовательно делим на 2: 96, 48, 24, 12, 6, 3. Переходов с делением на 2 было пять; затем 3 : 3 = 1. Ответ: 96 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3 = 2⁵ · 3. Проверка: 32 · 3 = 96.
2. Разложите 105. Число оканчивается на 5: 105 : 5 = 21. Далее 21 : 3 = 7 и 7 : 7 = 1. Ответ: 105 = 3 · 5 · 7. Проверка: 3 · 5 · 7 = 15 · 7 = 105.
3. Разложите 144. Делим: 144 : 2 = 72, 72 : 2 = 36, 36 : 2 = 18, 18 : 2 = 9, 9 : 3 = 3, 3 : 3 = 1. Ответ: 144 = 2⁴ · 3². Проверка: 16 · 9 = 144.
4. Найдите ошибку в записи «54 = 2 · 3 · 3». Справа получается 18, поэтому произведение неполное. Разделим 54: 54 : 2 = 27, 27 : 3 = 9, 9 : 3 = 3, 3 : 3 = 1. Верная запись: 54 = 2 · 3 · 3 · 3 = 2 · 3³.
5. Закончите разложение «126 = 6 · 21». Заменяем каждый составной множитель простыми: 6 = 2 · 3, 21 = 3 · 7. Ответ: 126 = 2 · 3 · 3 · 7 = 2 · 3² · 7. Проверка: 2 · 9 · 7 = 126.
Если ученик получает другое разложение, не сверяйте только порядок множителей. Сравните их набор и произведение. Записи 3 · 2 · 7 · 3 и 2 · 3 · 3 · 7 обозначают одно и то же разложение числа 126.
Для чего пригодится готовое разложение
Разложение показывает, какие простые множители входят в число и сколько раз каждый повторяется. Например, в 36 входят две двойки и две тройки, а в 60 — две двойки, одна тройка и одна пятёрка. Эти записи помогают искать общие делители чисел.
Если после упражнений нужно перейти к сравнению двух чисел, пригодится статья «Наибольший общий делитель: как объяснить ребёнку НОД». Здесь же задача уже решена, когда составное число полностью представлено простыми множителями и проверено умножением.
Частые вопросы
Нужно ли всегда начинать деление с 2?
Нет. Начинайте с любого простого делителя исходного числа. Для чётных чисел двойка обычно удобна; для 75 можно сразу взять 3 или 5. Итоговый набор простых множителей будет одинаковым.
Как понять, что большое оставшееся число простое?
Проверяйте делимость на простые числа, квадрат которых не больше проверяемого числа. Например, для 29 достаточно проверить 2, 3 и 5: следующее простое число 7, а 7² больше 29. Ни одно из проверенных чисел 29 не делит, значит, 29 простое.
Имеет ли значение порядок множителей в ответе?
Нет, потому что от перестановки множителей произведение не меняется. Обычно их записывают по возрастанию: так легче сравнить два ответа и пересчитать повторения.