Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, сначала представьте их в одинаковых долях. Найдите общий знаменатель, измените числитель каждой дроби вместе со знаменателем, а затем сложите числители. Знаменатель в ответе останется общим.
Например, 1/3 + 1/4 нельзя записать как 2/7: треть и четверть — доли разного размера. Разделим каждое целое на 12 равных частей. Тогда 1/3 = 4/12, а 1/4 = 3/12. Получаем 4/12 + 3/12 = 7/12. Ниже — упражнения от простых случаев до задач с целой частью; ответы разобраны после условий.
Шаг 1. Найдите общий знаменатель
Общий знаменатель — число, которое делится на оба исходных знаменателя без остатка. Для 1/6 и 1/4 подходит 12: 12 делится и на 6, и на 4. Подходит также 24, но с меньшим числом обычно удобнее считать.
Не всегда нужно искать самое маленькое подходящее число. Для 2/5 и 1/3 можно сразу взять произведение знаменателей: 5 × 3 = 15. Это даёт верный общий знаменатель. Позже, когда примеры станут длиннее, полезно замечать более короткий путь. Для 1/8 и 1/4 общий знаменатель 8 уже виден: 8 делится на 4.
Проверка выбранного знаменателя проста. В примере 1/6 + 1/4 число 10 не подходит: 10 не делится на 6 и 4 без остатка. А число 12 подходит. Такая проверка нужна до изменения дробей, иначе дальнейшие вычисления начнутся с неверного шага.
Шаг 2. Приведите обе дроби к одинаковым долям
Чтобы изменить знаменатель дроби, умножьте её числитель на то же число. В примере 1/6 + 1/4 общий знаменатель — 12. Для первой дроби 6 умножили на 2, значит, 1 тоже умножаем на 2: 1/6 = 2/12. Для второй 4 умножили на 3, значит, 1 умножаем на 3: 1/4 = 3/12.
Значение каждой дроби при этом сохраняется. Две двенадцатых — столько же, сколько одна шестая; три двенадцатых — столько же, сколько одна четверть. Теперь части одинакового размера, и их можно складывать: 2/12 + 3/12 = 5/12.
Удобно записывать множитель рядом с каждой дробью, пока действие не стало привычным. Например: для 2/3 + 1/6 общий знаменатель 6. Первая дробь умножается на 2 сверху и снизу: 2/3 = 4/6. Вторая уже имеет знаменатель 6. Значит, 4/6 + 1/6 = 5/6.
Шаг 3. Сложите числители и проверьте ответ
После приведения знаменатели одинаковы, поэтому складываются только числители. Для 3/10 + 1/5 сначала получаем 3/10 + 2/10, затем 5/10. Ответ можно сократить: 5/10 = 1/2. Сокращение означает, что числитель и знаменатель разделили на одно и то же число, здесь на 5.
Если числитель оказался больше знаменателя, это не ошибка само по себе. Например, 3/4 + 2/3 = 9/12 + 8/12 = 17/12. Это больше одного целого: 17/12 = 1 5/12. Записать ответ можно неправильной дробью или смешанным числом, если в задании не указан нужный вид.
Прикидка помогает заметить грубую ошибку. Обе дроби 3/4 и 2/3 больше половины, поэтому их сумма должна быть больше 1. Если получилось 5/7, проверка показывает, что способ вычисления нужно пересмотреть.
Упражнение 1. Одна дробь уже с нужным знаменателем
Вычислите самостоятельно, а затем сравните ход решения с разбором.
- 1/4 + 3/8
- 2/5 + 1/10
- 3/7 + 2/14
- 5/12 + 1/6
Ответы. В первом примере 1/4 = 2/8, поэтому 2/8 + 3/8 = 5/8. Во втором 2/5 = 4/10; 4/10 + 1/10 = 5/10 = 1/2. В третьем 3/7 = 6/14; 6/14 + 2/14 = 8/14 = 4/7. В четвёртом 1/6 = 2/12; 5/12 + 2/12 = 7/12.
Во всех четырёх заданиях один знаменатель делится на другой. Поэтому общий знаменатель уже присутствует в исходной записи. Если вы перемножили знаменатели и получили более крупные числа, результат всё равно может быть верным, но вычисления станут длиннее.
Упражнение 2. Меняются обе дроби
Здесь ни один исходный знаменатель не подходит сразу для обеих дробей. Найдите новое число, которое делится на каждый из них.
- 1/3 + 1/5
- 2/9 + 1/6
- 3/4 + 1/10
- 5/8 + 1/6
Ответы. Для 1/3 + 1/5 общий знаменатель 15: 5/15 + 3/15 = 8/15. Для 2/9 + 1/6 подходит 18: 4/18 + 3/18 = 7/18. Для 3/4 + 1/10 подходит 20: 15/20 + 2/20 = 17/20. Для 5/8 + 1/6 подходит 24: 15/24 + 4/24 = 19/24.
Проверьте второй пример отдельно: 2/9 превращается в 4/18, потому что и числитель, и знаменатель умножены на 2. Дробь 1/6 превращается в 3/18, потому что оба её числа умножены на 3. Множители у двух дробей могут быть разными; важен общий знаменатель в конце.
Упражнение 3. Сумма больше единицы
Сложите дроби и запишите ответ сначала неправильной дробью, затем смешанным числом.
- 3/4 + 1/2
- 5/6 + 2/3
- 7/10 + 3/5
Ответы. В первом примере 1/2 = 2/4, значит, 3/4 + 2/4 = 5/4 = 1 1/4. Во втором 2/3 = 4/6, поэтому 5/6 + 4/6 = 9/6. Сокращаем на 3: 9/6 = 3/2 = 1 1/2. В третьем 3/5 = 6/10, поэтому 7/10 + 6/10 = 13/10 = 1 3/10.
Смешанное число показывает, сколько получилось полных целых и какая доля осталась. Для 13/10 это одна полная группа из десяти десятых и ещё три десятых. Такая запись особенно удобна в задачах, где речь идёт о длине, массе или времени.
Упражнение 4. Задача с одним сюжетом
У Лены было два отрезка ленты. Длина первого — 2/3 метра, второго — 3/4 метра. Она соединила отрезки концами без нахлёста. Какова общая длина ленты?
Оба отрезка измерены в метрах, поэтому их длины можно сложить. Общий знаменатель для 3 и 4 — 12: 2/3 = 8/12, 3/4 = 9/12. Сумма равна 8/12 + 9/12 = 17/12 метра, или 1 5/12 метра. Отрезки соединены без нахлёста, поэтому вычитать длину места соединения не нужно.
Если хочется проверить ответ прикидкой, первая лента длиннее половины метра, вторая тоже длиннее половины. Вместе они должны быть длиннее метра. Полученный ответ 1 5/12 метра этому условию соответствует.
Где чаще всего возникает ошибка
Самая заметная ошибка — сложить знаменатели вместе с числителями: 1/3 + 1/4 = 2/7. В такой записи поменялся размер долей, и результат не выражает сумму. Верный порядок: сначала сделать доли одинаковыми, затем сложить их количество.
Другая ошибка — изменить только знаменатель. Если записать 1/3 как 1/12, дробь станет в четыре раза меньше. Правильное равенство: 1/3 = 4/12. Умножение сверху и снизу на одно число сохраняет значение дроби.
Бывает и лишнее действие после сложения: ребёнок снова умножает знаменатель или складывает числа ещё раз. Остановитесь на записи с общим знаменателем и задайте вопрос: «Сколько одинаковых частей получилось?» В примере 4/12 + 3/12 ответ — семь двенадцатых, то есть 7/12.
Обыкновенные дроби можно связывать и с десятичной записью, когда знаменатель позволяет это сделать удобно. Например, 1/2 = 0,5. Если нужно отдельно разобраться, как читать и записывать такие числа, поможет статья «Как объяснить ребёнку десятичные дроби».
Частые вопросы
Нужно ли всегда искать наименьший общий знаменатель?
Нет. Любой знаменатель, который делится на оба исходных, даст правильную сумму, если верно преобразовать дроби. Наименьший обычно сокращает вычисления. Например, для 1/4 + 1/6 можно взять 12 или 24, но с 12 числа будут меньше.
Когда сокращать дробь: до сложения или после?
Чаще удобнее после сложения. Сначала получите сумму с общим знаменателем, затем проверьте, делятся ли числитель и знаменатель на одно число. Например, 2/10 + 3/10 = 5/10 = 1/2.
Что делать, если в ответе получилась неправильная дробь?
Проверьте сумму, а затем посмотрите на требование задания. Если нужен ответ смешанным числом, выделите целую часть: 11/8 = 1 3/8. Если вид ответа не указан, обе равные записи передают одно и то же значение.