При умножении обыкновенных дробей перемножьте числители, затем знаменатели: 2/3 × 4/5 = 8/15. Если число записано как смешанное, сначала превратите его в неправильную дробь. Когда в произведении есть общие множители, удобнее сократить их до умножения: вычисления станут короче.
Проверка зависит от примера. Если обе положительные дроби меньше единицы, их произведение тоже меньше каждой из них. Если умножаете на число больше единицы, результат должен быть больше второго положительного множителя. Эти ориентиры не заменяют расчёт, но помогают быстро заметить потерянный числитель или неверное сокращение.
Умножьте числители и знаменатели
Дробь показывает, на сколько равных частей разделили целое и сколько таких частей взяли. В записи 3/7 число 3 — числитель, число 7 — знаменатель. При умножении двух дробей работает правило: числитель умножаем на числитель, знаменатель — на знаменатель.
Например, 3/4 × 2/5 = (3 × 2)/(4 × 5) = 6/20 = 3/10. Последний шаг — сокращение ответа: и 6, и 20 делятся на 2. Полезно записывать промежуточное произведение, пока правило не стало привычным. Так видно, откуда взялись оба числа.
Целое число можно записать дробью со знаменателем 1. Поэтому 3 × 2/7 = 3/1 × 2/7 = 6/7. Число 3 умножилось только на числитель. Умножать на 3 ещё и знаменатель нельзя: получилось бы 6/21, то есть другое число.
Если в примере есть ноль, результат равен нулю: 0 × 5/8 = 0. А дробь со знаменателем 0 записывать нельзя, поэтому пример вида 2/0 × 3/5 не является вычислением с дробями.
Сократите множители до вычисления
Посмотрите на произведение 5/12 × 6/25. Можно сначала получить 30/300, а затем сократить до 1/10. Но короче заметить общие делители заранее: 5 и 25 делятся на 5, а 6 и 12 — на 6. После сокращения остаётся 1/2 × 1/5 = 1/10.
Сокращать можно числитель одной дроби со знаменателем другой. В произведении 8/15 × 9/16 число 8 сокращается с 16 до 1 и 2, а 9 сокращается с 15 до 3 и 5. Получаем 1/5 × 3/2 = 3/10. Это то же произведение, которое получилось бы без предварительного сокращения: 72/240 = 3/10.
Почему такой приём работает? Числитель и знаменатель всего произведения делятся на одно и то же число. Мы уменьшаем запись, не меняя значение дроби. Чтобы не потерять множитель, зачёркивайте оба сокращаемых числа и рядом записывайте, что осталось от каждого.
Нельзя сокращать два числителя между собой или два знаменателя между собой. В примере 2/3 × 4/5 числа 2 и 4 стоят оба сверху: их общий делитель не даёт сокращения. По той же причине нельзя «убрать» одинаковые цифры из двух чисел, если эти числа не являются множителями числителя и знаменателя.
Переведите смешанное число в дробь
Смешанное число состоит из целой и дробной части: 1 2/3 — это 1 + 2/3, то есть 5/3. Для перевода умножьте целую часть на знаменатель и прибавьте числитель: 1 × 3 + 2 = 5. Знаменатель остаётся 3.
Теперь можно умножить: 1 2/3 × 3/10 = 5/3 × 3/10. Сократим тройки и получим 5/10 = 1/2. Проверка по смыслу: 1 2/3 больше единицы, а 3/10 меньше единицы; произведение 1/2 выглядит разумно.
Если смешанных чисел два, переводите оба. Например, 1 1/2 × 2 2/3 = 3/2 × 8/3. Тройки сокращаются, затем 8 и 2 сокращаются до 4 и 1. Ответ — 4. Проверка без дробей: полтора раза по два и две трети действительно дают четыре.
Обратный перевод нужен, если получилась неправильная дробь и ответ хочется записать смешанным числом. Например, 5/4 × 2 = 10/4 = 5/2 = 2 1/2. Разделите числитель 5 на знаменатель 2: две целые части и остаток 1.
Умножьте дробь на дробь в задаче
Правило становится понятнее, когда «умножить» означает «взять часть от части». В коробке осталось 3/4 плитки шоколада. Для десерта взяли 2/3 от этого остатка. Сколько целой плитки взяли? Вычисляем 2/3 × 3/4. Сокращаем тройки: 2/4 = 1/2. Значит, взяли половину целой плитки.
Здесь важно не перепутать исходное целое и остаток. Две трети относятся к оставшимся трём четвертям плитки, поэтому результат меньше 3/4. Если бы спросили, сколько шоколада осталось после приготовления десерта, понадобился бы ещё один шаг: 3/4 − 1/2 = 1/4 плитки. Но на вопрос «сколько взяли» ответ уже найден.
Другой пример: для поделки нужен отрезок ленты длиной 2/5 метра. На один элемент уходит 3/4 такого отрезка. Длина нужного кусочка равна 3/4 × 2/5 = 6/20 = 3/10 метра. Результат меньше 2/5 метра, потому что взяли не весь отрезок.
Когда в условии сказано «часть от числа», умножение удобно. Но одно слово «от» не заменяет чтение задачи: сначала установите, от какого количества берётся часть. Это защищает от ошибки, когда дробь умножают не на то число.
Проверьте знак и размер ответа
При умножении положительных дробей ответ положителен. Если один множитель отрицательный, произведение отрицательно: −2/3 × 3/5 = −6/15 = −2/5. Если оба множителя отрицательные, произведение положительно: −2/3 × −3/5 = 2/5. Знак определите отдельно, а модули дробей перемножьте обычным способом.
Для положительных дробей меньше единицы произведение меньше каждой из них. Например, 2/3 × 3/4 = 1/2, и 1/2 меньше как 2/3, так и 3/4. Если у вас вышло 6/7, стоит проверить вычисления.
Этот ориентир нельзя применять без уточнения ко всем примерам. При 2/3 × 3 ответ равен 2: множитель 3 больше единицы, поэтому результат больше 2/3. При 1 1/2 × 2/3 ответ равен 1: один множитель больше единицы, другой меньше, и простой проверки «меньше обоих» здесь нет.
Ещё одна проверка — пересчитать пример другим порядком. Для 3/8 × 4/9 сначала умножаем: 12/72 = 1/6. Если сократить заранее, 3 и 9 превращаются в 1 и 3, а 4 и 8 — в 1 и 2. Получаем 1/(2 × 3) = 1/6. Совпадение подтверждает сокращение.
Решите четыре упражнения
Запишите решение, а не только ответ. В каждом примере проверьте, можно ли сократить множители до умножения.
- 4/9 × 3/8.
- 7/10 × 5/14.
- 2 1/4 × 4/9.
- −3/5 × 10/9.
Разбор первого: 4 и 8 сокращаются до 1 и 2; 3 и 9 — до 1 и 3. Получается 1/3 × 1/2 = 1/6. Проверка прямым умножением: 12/72 = 1/6.
Разбор второго: 7 и 14 сокращаются до 1 и 2; 5 и 10 — до 1 и 2. Получается 1/2 × 1/2 = 1/4. Оба множителя меньше единицы, ответ меньше каждого из них.
Разбор третьего: 2 1/4 = 9/4. Тогда 9/4 × 4/9 = 1: числитель и знаменатель всего произведения состоят из одинаковых множителей. Это удобный случай для проверки перевода смешанного числа.
Разбор четвёртого: произведение отрицательное. Для модулей 3/5 × 10/9 сократим 10 и 5 до 2 и 1, затем 3 и 9 до 1 и 3. Получаем 2/3, значит ответ −2/3.
Если ответ не совпал, ищите ошибку по этапам: запись смешанного числа, сокращение пары «верх — низ», перемножение оставшихся чисел, знак результата. Проверять всё заново без разделения на этапы менее удобно: можно повторить ту же ошибку.
Если в выражении есть десятичная дробь
Сначала приведите числа к удобному общему виду. Например, 0,5 × 3/4 можно считать как 1/2 × 3/4 = 3/8. Если удобнее десятичная запись, 3/8 = 0,375. Важен один выбранный путь, чтобы случайно не применить правило умножения числителей к десятичной записи.
Для выражений, где вместе встречаются разные действия с обыкновенными и десятичными дробями, пригодится отдельный разбор порядка действий в смешанных выражениях. Здесь достаточно помнить: правило этой статьи относится к умножению обыкновенных дробей после того, как числа приведены к такому виду.
Частые вопросы
Нужно ли сокращать дроби до умножения?
Нет, можно сократить готовый ответ. Но предварительное сокращение уменьшает числа и облегчает счёт. Оба пути должны привести к одной и той же дроби.
Как умножить дробь на единицу?
Значение не меняется: 5/7 × 1 = 5/7. Единицу можно представить как 1/1 и применить общее правило.
Что делать, если ответ — неправильная дробь?
Её можно оставить, если другой формат не требуется. Например, 7/4 — точный ответ; в виде смешанного числа это 1 3/4. Значения равны.
Почему 2/3 × 3/2 равно единице?
После умножения получается 6/6 = 1. Такие числа называют взаимно обратными: числитель и знаменатель одной дроби поменялись местами в другой.