Разность квадратов раскладывается на два множителя по правилу a² − b² = (a − b)(a + b). Например, x² − 25 = x² − 5² = (x − 5)(x + 5). Чтобы применить правило, найдите два квадрата, между которыми стоит минус, и запишите разность и сумму их оснований.
Проверить ответ можно умножением скобок. Для примера выше: (x − 5)(x + 5) = x² + 5x − 5x − 25 = x² − 25. Слагаемые 5x и −5x уничтожают друг друга. Ниже разберём, как узнавать подходящее выражение и что делать, если оно скрыто за коэффициентом или общим множителем.
Сначала найдите два квадрата
Число 25 подходит для формулы, потому что 25 = 5². Число 49 — потому что 49 = 7². У букв квадратами будут x², y² и, например, 9a² = (3a)². Смотреть нужно на оба члена выражения: в 9a² − 16 первый квадрат — (3a)², второй — 4².
После этого разложение занимает одну строку:
9a² − 16 = (3a − 4)(3a + 4).
Полезно называть не только квадраты, но и их основания. Если ребёнок говорит «первый квадрат — 9a²», уточните: «Квадрат какого выражения?» Ответ «3a» сразу помогает правильно записать обе скобки. Иначе легко получить ошибочную запись (9a − 4)(9a + 4).
Между квадратами должен стоять знак минус. Сумма x² + 25 в рамках этой формулы на множители не раскладывается. Не стоит механически менять плюс на минус ради знакомого ответа: исходное выражение тогда станет другим.
Запишите множители в одном порядке
У формулы две скобки с одинаковыми основаниями. В одной между ними минус, в другой плюс. Для выражения a² − b² это (a − b)(a + b). Удобно сначала записать пустой каркас: (a − b)(a + b), а потом заменить a и b тем, что найдено в задаче.
Например, для 4x² − 81 основания равны 2x и 9:
4x² − 81 = (2x − 9)(2x + 9).
Здесь нельзя написать (2x − 9)²: такой квадрат даст ещё и средний член, которого в исходном выражении нет. Два множителя отличаются знаком перед вторым основанием — именно поэтому средние члены при умножении сократятся.
Порядок самих двух скобок значения не имеет: (2x − 9)(2x + 9) и (2x + 9)(2x − 9) равны. Если ребёнку трудно это увидеть, можно вспомнить перестановку множителей в свойствах арифметических действий.
Когда перед разностью есть общий множитель
Посмотрите на 3x² − 75. Оба члена делятся на 3, поэтому сначала вынесем его за скобку: 3x² − 75 = 3(x² − 25). Внутри осталась разность квадратов. Раскладываем её и получаем 3(x − 5)(x + 5).
Проверка: (x − 5)(x + 5) = x² − 25; умножение на 3 возвращает 3x² − 75. Здесь число 3 остаётся отдельным множителем до конца. Если забыть его в ответе, получится выражение в три раза меньше исходного.
Похожий случай: 2a² − 32b². Выносим 2: 2(a² − 16b²). Затем замечаем, что 16b² = (4b)². Итог: 2(a − 4b)(a + 4b). Лучше сделать эти действия последовательно, чем пытаться сразу угадать окончательный вид: так легче проверить каждое преобразование.
Упражнения на узнавание формулы
В этих заданиях вся разность квадратов видна сразу. Перед записью ответа назовите основания двух квадратов.
1. Разложите x² − 36. Основания — x и 6, поскольку 36 = 6². Ответ: (x − 6)(x + 6).
2. Разложите 25m² − 1. Первый квадрат — (5m)², второй — 1². Ответ: (5m − 1)(5m + 1).
3. Разложите 49 − y². Порядок квадратов здесь обратный привычному: сначала 7², затем y². Поэтому ответ: (7 − y)(7 + y). Раскрытие скобок даёт 49 − y².
4. Разложите 16p² − 9q². Основания — 4p и 3q. Ответ: (4p − 3q)(4p + 3q). Если перемножить скобки, получатся 16p² + 12pq − 12pq − 9q²; средние члены сократятся.
В третьем задании важно сохранить порядок: исходное выражение начинается с 49. Запись (y − 7)(y + 7) дала бы y² − 49, то есть выражение с противоположными знаками.
Упражнения с дополнительным первым шагом
Теперь формула спрятана чуть глубже. В каждом примере найдите действие, которое откроет разность квадратов, и только затем записывайте множители.
5. Разложите 5x² − 45. Оба члена делятся на 5: 5(x² − 9). Поскольку 9 = 3², ответ: 5(x − 3)(x + 3).
6. Разложите 12a² − 3. Сначала выносим 3 и получаем 3(4a² − 1). В скобках стоят (2a)² и 1². Ответ: 3(2a − 1)(2a + 1).
7. Разложите (x + 2)² − 16. Первое основание — всё выражение x + 2, второе — 4. По формуле получаем ((x + 2) − 4)((x + 2) + 4). Упростим скобки: (x − 2)(x + 6). Проверка умножением: x² + 4x − 12; исходная запись после раскрытия квадрата тоже даёт x² + 4x + 4 − 16 = x² + 4x − 12.
8. Разложите 3(x² − 64). Число 3 уже вынесено. Внутри скобок x² − 8², поэтому ответ: 3(x − 8)(x + 8).
В седьмом задании двойные скобки на промежуточном шаге помогают не потерять число 2. Основание первого квадрата равно x + 2 целиком, а не одному x.
Как найти ошибку в готовом ответе
Рассмотрим запись x² − 64 = (x − 8)². Проверим правую часть обычным умножением: (x − 8)² = x² − 16x + 64. Получилось другое выражение. Верная пара множителей — (x − 8)(x + 8).
Другая запись: 36a² − 25 = (36a − 5)(36a + 5). Если перемножить скобки, первый член станет 1296a². Ошибка возникла при выборе основания первого квадрата: 36a² = (6a)². Верный ответ — (6a − 5)(6a + 5).
Наконец, запись 4x² − 4 = (2x − 2)(2x + 2) верна, но её можно продолжить. Из каждой скобки выносится 2: (2x − 2)(2x + 2) = 2(x − 1) · 2(x + 1) = 4(x − 1)(x + 1). В этой задаче оба вида равны исходному выражению; второй показывает числовой множитель отдельно.
Самый надёжный способ проверить любое разложение — перемножить полученные скобки. Если вернулось исходное выражение, знаки и коэффициенты записаны согласованно. Если нет, сравните сначала квадраты на краях, затем средние члены: они должны сократиться.
Частые вопросы
Имеет ли значение, какую скобку записать первой?
Нет. Произведение (a − b)(a + b) равно произведению (a + b)(a − b). При проверке обе записи дадут a² − b².
Нужно ли всегда выносить общий множитель перед формулой?
Когда он есть, это упрощает основания квадратов и помогает получить полное разложение. Например, в 8x² − 72 удобнее сначала вынести 8 и работать с x² − 9, чем искать основания у обоих исходных членов.
Как понять, что разложение уже закончено?
Посмотрите на каждый оставшийся множитель. Если в нём снова есть разность квадратов или общий множитель у всех его членов, преобразование можно продолжить. У выражения 4(x − 1)(x + 1) скобки линейные, а общий числовой множитель уже вынесен.
Где формула пригодится для быстрого устного счёта?
Например, нужно вычислить 145² − 144². Не возводите оба числа в квадрат: запишите (145 − 144)(145 + 144) = 1 × 289 = 289. Для двух соседних целых чисел первая скобка равна единице, поэтому разность их квадратов равна сумме этих чисел. Здесь видно практическое назначение формулы: она заменяет два больших вычисления коротким сложением.