Уравнение Менделеева — Клапейрона связывает давление, объём, количество вещества и температуру идеального газа: pV = νRT. Для расчёта выберите искомую величину, переведите исходные данные в согласованные единицы и выразите неизвестное из формулы. В школьных задачах больше всего ошибок возникает при переводе литров в кубические метры и градусов Цельсия в кельвины.
Если дана масса, сначала найдите количество вещества: ν = m/M, где M — молярная масса. Затем используйте ту же формулу. Ниже разберём четыре типа задач — на давление, объём, температуру и массу — с проверкой единиц и разумным округлением результата.
Что означает каждая буква
В записи pV = νRT величина p — абсолютное давление газа, V — его объём, ν — количество вещества в молях, T — абсолютная температура в кельвинах. R — универсальная газовая постоянная. При давлении в паскалях, объёме в кубических метрах и температуре в кельвинах берут R ≈ 8,314 Дж/(моль · К).
Форму уравнения для одного моля и для произвольной массы приводит Большая российская энциклопедия в статье об уравнении Клапейрона. Для произвольной массы подстановка ν = m/M даёт pV = (m/M)RT. Выбор записи зависит только от того, что известно в условии: количество вещества или масса вместе с молярной массой.
Модель идеального газа применяют в пределах условий, где такое приближение подходит. В частности, вблизи конденсации и при высокой плотности поведение реального газа может заметно от него отличаться. Для школьной расчётной задачи с указанной моделью достаточно работать с данными условия, не распространяя ответ на любые реальные условия.
Приведите единицы к одной системе
Для R ≈ 8,314 Дж/(моль · К) используйте p в Па, V в м³, ν в моль и T в К. Перед подстановкой выпишите перевод отдельно:
- 1 кПа = 1000 Па;
- 1 л = 0,001 м³;
- T = t + 273,15, где t задана в °C, а T получается в К.
Например, 30 л = 0,030 м³, а 100 кПа = 100 000 Па. Температура 26,85 °C соответствует 300 К. Если в условии принято приближение 273 вместо 273,15, следуйте точности условия и не смешивайте два способа в одном расчёте.
Нельзя подставить 20 вместо 293,15, если в условии сказано 20 °C: газовое уравнение требует абсолютной температуры. При работе с показаниями термометра полезно отдельно закрепить смысл шкалы Цельсия в статье «Температура: как объяснить ребёнку показания термометра». Число градусов Цельсия и температура в кельвинах для этой формулы не взаимозаменяемы.
Для ν = m/M согласуйте единицы массы. Если m записана в граммах, берите M в г/моль. Если M дана в кг/моль, массу переведите в килограммы. Результат деления в обоих случаях выражается в молях.
Задача на давление: известны ν, T и V
Условие. Количество вещества идеального газа равно 1,5 моль, температура — 300 К, объём — 0,030 м³. Найдите давление.
Выразим давление: p = νRT/V. Все исходные величины уже приведены к нужным единицам, поэтому подставляем:
p = 1,5 · 8,314 · 300 / 0,030 = 124 710 Па.
В килопаскалях это 124,71 кПа, или примерно 125 кПа. Для проверки порядка величины можно сначала округлить R до 8: получится около 120 000 Па. Точный расчёт должен быть близок к этой оценке. Если вместо 0,030 м³ подставить 30 как число литров, ответ уменьшится в тысячу раз.
Проверка через исходную формулу: pV = 124 710 · 0,030 = 3741,3 Дж; νRT = 1,5 · 8,314 · 300 = 3741,3 Дж. Обе части совпали.
Задача на объём: известны p, ν и T
Условие. Идеальный газ количеством 2 моль находится при температуре 300 К и давлении 100 кПа. Найдите объём.
Сначала переводим давление: 100 кПа = 100 000 Па. Из pV = νRT получаем V = νRT/p. Подстановка даёт:
V = 2 · 8,314 · 300 / 100 000 = 0,049884 м³.
Поскольку 1 м³ содержит 1000 л, объём равен 49,884 л, или примерно 49,9 л. Записывайте обе единицы последовательно: сначала результат по формуле в м³, затем удобный перевод в литры.
Если вместо 100 кПа в знаменателе оставить 100, получится 49,884 м³ — величина в тысячу раз больше правильной. Такую ошибку проще заметить, если рядом с каждым числом в черновике сохранить его единицу до самой подстановки.
Задача на давление, когда дана масса
Условие. Масса газа 16 г, молярная масса 32 г/моль, температура 300 К, объём 0,012 м³. Найдите давление в модели идеального газа.
Здесь неизвестно ν, но известны m и M. Сначала вычисляем ν = 16/32 = 0,5 моль. Граммы сокращаются с граммами в г/моль; переводить 16 г в килограммы для этого действия не требуется.
Теперь p = νRT/V:
p = 0,5 · 8,314 · 300 / 0,012 = 103 925 Па.
Это примерно 104 кПа. Проверим другим способом без нового численного действия: pV = (m/M)RT. Отношение m/M равно тем же 0,5 моль, поэтому результат обязан совпасть.
Чтобы найти массу, когда она неизвестна, преобразуйте формулу сразу: m = pVM/(RT). Например, если p дано в Па, V в м³, T в К, а M в г/моль, итоговая масса получится в граммах. Не нужно переводить M в кг/моль только потому, что давление и объём записаны в единицах СИ: важно согласовать между собой именно m и M.
Задача на массу: выразите m из формулы
Условие. Идеальный газ с молярной массой 32 г/моль занимает объём 30 л при температуре 300 К и абсолютном давлении 83 140 Па. Найдите массу газа.
Переведём объём: 30 л = 0,030 м³. Молярную массу оставим в г/моль, поэтому ответ получим в граммах. Из pV = (m/M)RT выражаем массу:
m = pVM/(RT) = 83 140 · 0,030 · 32 / (8,314 · 300) = 32 г.
Проверим результат через количество вещества. При массе 32 г и молярной массе 32 г/моль получаем ν = 1 моль. Тогда νRT = 1 · 8,314 · 300 = 2494,2 Дж. Левая часть исходного уравнения даёт столько же: pV = 83 140 · 0,030 = 2494,2 Дж. Значит, найденная масса согласуется с давлением, объёмом и температурой из условия.
Задача на температуру: ответ в кельвинах
Условие. Давление идеального газа равно 83 140 Па, объём — 0,020 м³, количество вещества — 1 моль. Найдите температуру в кельвинах и градусах Цельсия.
Выражаем T = pV/(νR). Подставляем:
T = 83 140 · 0,020 / (1 · 8,314) = 200 К.
Для перевода в шкалу Цельсия вычитаем 273,15: t = 200 − 273,15 = −73,15 °C. Отрицательное число в градусах Цельсия здесь не означает отрицательную абсолютную температуру: в формуле использовано положительное значение 200 К.
Обратная проверка короткая: νRT = 1 · 8,314 · 200 = 1662,8 Дж; pV = 83 140 · 0,020 = 1662,8 Дж. Расчёт согласован.
Выберите нужную форму до вычислений
Если известны ν, p и T, ищите объём по V = νRT/p. Если известны ν, V и T, давление равно p = νRT/V. Для температуры используйте T = pV/(νR). Если неизвестно количество вещества, ν = pV/(RT). Эти формулы получаются из одного исходного равенства, поэтому заучивать их как отдельные законы не нужно.
Когда дана масса, возможны два удобных пути. Можно найти ν = m/M, а потом подставить его в pV = νRT. Можно сразу записать pV = (m/M)RT. Первый путь обычно проще для проверки: промежуточное число молей показывает, правильно ли согласованы граммы и молярная масса.
Не путайте давление газа в формуле с превышением давления над атмосферным, которое иногда показывает прибор. В приведённых задачах давление задано как абсолютное. Если условие отдельно говорит об избыточном давлении, сначала потребуется разобраться, какое абсолютное давление соответствует этим данным; подстановка одного показания как p даст неверный расчёт.
Два расчёта для самостоятельной проверки
Задание 1. Идеальный газ количеством 1 моль при температуре 300 К занимает объём 0,020 м³. Найдите давление и объясните, почему оно совпадает с ответом первой задачи, где были даны 1,5 моль и 0,030 м³ при той же температуре.
Используйте p = νRT/V. Получится p = 1 · 8,314 · 300 / 0,020 = 124 710 Па. Если хотите записать ответ в килопаскалях, разделите на 1000: 124,71 кПа. В обеих задачах одинаково отношение количества вещества к объёму: 1/0,020 = 1,5/0,030 = 50 моль/м³. Температура тоже одинакова, поэтому из p = (ν/V)RT получается одно и то же давление. Само по себе уменьшение количества газа ещё не означает уменьшения давления: нужно учитывать и объём.
Задание 2. Давление равно 100 000 Па, объём — 0,010 м³, температура — 300 К. Найдите количество вещества.
Из формулы ν = pV/(RT) получаем ν = 100 000 · 0,010 / (8,314 · 300) ≈ 0,401 моль. Числитель равен 1000 Дж, знаменатель — 2494,2 Дж/моль; после деления остаются моли. Если результат выражен в другой единице, проверьте перевод исходных данных.
После вычисления всегда возвращайтесь к тому, что требовалось найти. Температуру по формуле сначала получают в кельвинах; объём при выбранном значении R — в кубических метрах; давление — в паскалях. Перевод в привычную единицу делайте отдельным последним действием и округляйте уже окончательный ответ.