Решить систему двух уравнений — значит найти все пары чисел, при которых верны оба равенства, или установить, что таких пар нет. Если получилось x = 6 и y = 3, эту пару записывают как (6; 3): сначала значение x, затем значение y. Проверять нужно каждую найденную пару в обоих исходных уравнениях, а не только в последнем равенстве, которое получилось при решении.
Для большинства учебных примеров хватит двух способов. Подстановка удобна, когда одну переменную легко выразить через другую. Сложение удобно, когда можно убрать одну переменную, сложив уравнения или вычтя одно из другого. В обоих случаях после первого найденного числа нужно восстановить второе. Условие «оба уравнения выполняются одновременно» и порядок проверки показаны также в материале «Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными».
Сначала поймите, что именно ищете
Возьмём систему:
x + y = 9 x − y = 3
Пара (6; 3) подходит: 6 + 3 = 9 и 6 − 3 = 3. Пара (5; 4) удовлетворяет первому равенству, но не второму: 5 − 4 = 1. Поэтому запись «x + y = 9, значит x = 5 и y = 4» ещё не решает систему. Первое уравнение допускает много пар; второе должно отобрать среди них подходящие.
Полезно сразу отделять исходные условия от промежуточных вычислений. Если при сложении двух строк вышло 2x = 12, это позволяет найти x, но ничего не сообщает о y само по себе. Значение y берут из одного из исходных уравнений, а затем подставляют оба числа в оба исходных равенства.
Шаг 1. Выберите способ по виду уравнений
Посмотрите на коэффициенты при x и y — числа, стоящие перед переменными. Если записано x + y = 9, можно за одно действие получить y = 9 − x. Это хороший вход для подстановки. Так же удобно выражать переменную, когда её коэффициент равен −1: из x − y = 3 легко получить y = x − 3.
Если в строках уже стоят противоположные слагаемые, как +y и −y, берите сложение. Если слагаемые одинаковые, одно уравнение можно вычесть из другого. Иногда сначала приходится умножить всю строку на число, чтобы коэффициенты стали противоположными или одинаковыми. Выбирайте путь, где меньше дробей и длинных раскрытий скобок.
Это выбор удобства, а не разных типов ответов. Одну и ту же систему можно решить обоими способами и получить одну и ту же пару. Если два способа дали разные пары, найдите расхождение подстановкой в исходные строки.
Шаг 2. Решите подстановкой
Вернёмся к системе x + y = 9 и x − y = 3. Из первого уравнения выразим y:
y = 9 − x.
Теперь во втором уравнении вместо y пишем всё выражение 9 − x:
x − (9 − x) = 3 x − 9 + x = 3 2x = 12 x = 6.
Скобки здесь нужны: перед y во втором уравнении стоит минус, значит при раскрытии меняются знаки обоих членов выражения 9 − x. Подставим x = 6 в первое исходное уравнение: 6 + y = 9, поэтому y = 3. Ответ — (6; 3).
Проведём проверку отдельно от решения: 6 + 3 = 9; 6 − 3 = 3. Оба равенства верны. Именно такая запись помогает заметить ошибку, которую легко пропустить при проверке лишь последней строки вычислений.
Если при переменной стоит коэффициент, делить на него можно, когда это ненулевое число. Например, из 2x + y = 7 безопасно получить y = 7 − 2x. Из 2x + 4y = 8 можно получить y = 2 − x/2, разделив на 4. Выражение с переменной в роли делителя требует отдельного рассмотрения случая, когда оно равно нулю; для обычной линейной системы такой обход не нужен.
Рассмотрим ещё одну систему, где ответ дробный:
2x + y = 4 x − y = 1.
Из первого равенства y = 4 − 2x. Подставляем во второе: x − (4 − 2x) = 1, значит 3x − 4 = 1 и x = 5/3. Тогда y = 4 − 10/3 = 2/3. Проверка: 2 · 5/3 + 2/3 = 4; 5/3 − 2/3 = 1. Дробный ответ допустим: задача не требует, чтобы обе переменные были целыми.
Шаг 3. Решите сложением
Для первой системы сложение было бы короче: при сложении x + y = 9 и x − y = 3 слагаемые +y и −y исчезают. Получаем 2x = 12, затем x = 6. Из x + y = 9 находим y = 3.
Когда коэффициенты не совпадают, подготовьте строки. Например:
2x + 3y = 19 3x − 2y = 9.
Чтобы убрать y, умножим обе части первого равенства на 2, а обе части второго на 3:
4x + 6y = 38 9x − 6y = 27.
Складываем строки: 13x = 65, откуда x = 5. Подставляем в первое исходное уравнение: 2 · 5 + 3y = 19, значит 3y = 9 и y = 3. Проверка во втором: 3 · 5 − 2 · 3 = 9. Ответ — (5; 3).
При умножении нельзя менять только слагаемое с нужной переменной. Если умножаете 2x + 3y = 19 на 2, получиться должно 4x + 6y = 38. Правая часть меняется вместе со всей левой. Правило и вариант с вычитанием разобраны в материале «Способ алгебраического сложения при решении систем линейных уравнений».
Если коэффициенты одинаковые, можно вычесть одну строку из другой. Пусть даны 3x + 2y = 16 и x + 2y = 8. Вычитаем второе равенство из первого целиком:
(3x + 2y) − (x + 2y) = 16 − 8.
Получаем 2x = 8, значит x = 4. Тогда 4 + 2y = 8, откуда y = 2. Скобки показывают, что минус относится ко всему второму выражению. Без них легко ошибочно записать 3x + 2y − x + 2y и не убрать y.
Шаг 4. Разберите результат исключения
После подстановки или сложения не всегда получается одна пара. Иногда переменная исчезает вместе с равенством:
x + 2y = 4 2x + 4y = 8.
Умножим первую строку на 2 и вычтем вторую: 0 = 0. Вторая строка повторяет условие первой, поэтому система не выбирает единственную пару. Можно задать y = t; тогда x = 4 − 2t. При любом действительном t пара (4 − 2t; t) подходит. Но любые x и y писать нельзя: они всё равно должны удовлетворять связи x + 2y = 4. Например, (4; 0) и (2; 1) подходят, а (4; 1) — нет.
Поменяем только правую часть второй строки:
x + 2y = 4 2x + 4y = 11.
Теперь умноженная на 2 первая строка требует 2x + 4y = 8, а вторая требует 2x + 4y = 11. Получается 0 = 3. Одна и та же левая часть не может одновременно равняться 8 и 11, поэтому решений нет. Это не повод искать числа точнее: противоречие следует из самих условий.
Запомнить различие можно по тому, что осталось после исключения. Равенство вида 0 = 3 говорит о несовместимых требованиях. Равенство 0 = 0 говорит лишь о том, что полученная строка не добавила нового ограничения; связь между x и y нужно взять из исходной системы.
Как не потерять условие по дороге
После преобразования двух уравнений в одну короткую строку удобно держать рядом одно исходное. Например, запись «13x = 65; 2x + 3y = 19» сохраняет достаточно сведений, чтобы получить оба числа. Одна строка «13x = 65» без второй этого не делает: при x = 5 значений y пока сколько угодно.
Знаки проверяйте в месте, где они меняются. При подстановке в x − y = 3 выражения y = 9 − x сначала запишите x − (9 − x) = 3. При вычитании строк окружите скобками всю вычитаемую левую часть. Если ответ неверен только в одном исходном равенстве, пересмотрите именно раскрытие скобок, умножение всей строки и вычисление второй переменной.
Можно проговорить эти переходы вслух: «вычитаю всё второе уравнение», «подставляю выражение вместо y». Это помогает назвать действие до вычисления. Подробнее такой приём описан в статье «Считает вслух — находит ошибку сам: приём для домашки по математике». После проговаривания всё равно оставьте на бумаге проверку обоих исходных равенств.
Самостоятельно: четыре разных исхода
Решите системы, а затем сравните не только ответ, но и причину выбора способа.
1. 3x + y = 17; x − y = 3. Здесь удобно сложить строки: 4x = 20, значит x = 5. Из x − y = 3 следует y = 2. Проверка: 3 · 5 + 2 = 17 и 5 − 2 = 3. Ответ: (5; 2).
2. 4x − 3y = 6; 2x + 3y = 12. Слагаемые с y противоположны, поэтому сумма строк даёт 6x = 18. Получаем x = 3, затем 2 · 3 + 3y = 12, откуда y = 2. В первой строке 4 · 3 − 3 · 2 = 6. Ответ: (3; 2).
3. x + 2y = 5; 2x + 4y = 10. Вторая строка равна удвоенной первой. Пусть y = t, тогда x = 5 − 2t. Ответ: все пары (5 − 2t; t), где t — любое действительное число. Например, при t = 0 выходит (5; 0), при t = 1 — (3; 1); обе пары выполняют обе строки.
4. x + 2y = 5; 2x + 4y = 12. Удвоенная первая строка даёт 2x + 4y = 10, что противоречит второй. Ответ: решений нет.
Если система составлена по условию задачи, после алгебраической проверки вернитесь к смыслу переменных. Пусть x — цена тетради, y — цена ручки, а по условию x + y = 90 и 2x + 3y = 230. Удвоим первое равенство: 2x + 2y = 180. Вычитание даёт y = 50, затем x = 40. Проверка покупки: одна тетрадь и одна ручка стоят 40 + 50 = 90; две тетради и три ручки — 80 + 150 = 230. Так пара чисел превращается в полный ответ на вопрос задачи: тетрадь стоит 40 рублей, ручка — 50 рублей.