В задачах на геометрическую прогрессию каждый следующий член получают умножением предыдущего на одно и то же число. Чтобы найти член или сумму, сначала определите знаменатель прогрессии и проверьте, не равен ли он единице.
Разберите четыре примера, затем решите восемь задач самостоятельно и сравните ход вычислений с ключом.
Что означают b1, q и показатель степени
Пусть b1 — первый член, q — знаменатель, b_n — член с номером n. Здесь b1 и q ненулевые, а нумерация начинается с единицы. По формуле члена геометрической прогрессии:
b_n = b1 · q^(n − 1).
Показатель степени равен числу переходов от первого члена до нужного. Если известны первые два члена, знаменатель находится делением: q = b2 / b1. Он может быть отрицательным или дробным.
Для конечной суммы первых n членов при q ≠ 1 применяют формулу:
S_n = b1 · (q^n − 1) / (q − 1).
При q = 1 все члены равны b1, поэтому S_n = n · b1. Формулу с делением на q − 1 в этом случае применять нельзя: её знаменатель равен нулю.
Ошибки при работе со степенями и суммой
- В формулу члена подставляют степень n вместо n − 1. Например, до пятого члена нужно сделать четыре умножения.
- Пишут отрицательный знаменатель без скобок. В записи (−2)^4 степень относится ко всему отрицательному числу.
- Считают, что отрицательный q всегда даёт отрицательный член. Знак зависит от числа умножений.
- Применяют формулу с делением на q − 1 при q = 1. Для одинаковых членов нужно умножить их значение на количество.
- Путают сумму указанного числа членов с бесконечной суммой. Здесь во всех задачах требуется конечная сумма.
Возвести знаменатель в нужную степень
Задача 1. В геометрической прогрессии b1 = 2, q = 2. Найдите b5; нумерация начинается с 1.
- До пятого члена от первого четыре перехода, значит, нужна степень 5 − 1 = 4.
- Подставим данные: b5 = 2 · 2^4.
- Вычислим: 2^4 = 16, поэтому b5 = 32.
Ответ: 32. Проверка последовательным умножением: 2, 4, 8, 16, 32.
Найти q по первым двум членам
Задача 2. В геометрической прогрессии b1 = 3, b2 = 6. Найдите q и b4.
- Разделим второй член на первый: q = 6 / 3 = 2.
- От первого до четвёртого члена три перехода, поэтому b4 = 3 · 2^3.
- Получим b4 = 3 · 8 = 24.
Ответ: q = 2; b4 = 24. При последовательном умножении получаем 3, 6, 12, 24.
Выбрать формулу конечной суммы
Задача 3. В геометрической прогрессии b1 = 1, q = 2. Найдите сумму первых 5 членов, не бесконечную сумму.
- Так как q не равен единице, используем формулу с делением на q − 1.
- Подставим данные: S5 = 1 · (2^5 − 1) / (2 − 1).
- Вычислим: S5 = (32 − 1) / 1 = 31.
Ответ: 31. Проверить можно сложением пяти членов: 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31.
Задача 4. Все члены геометрической прогрессии равны 4, то есть q = 1. Найдите сумму первых 7 членов.
- Каждый из семи членов равен 4.
- Умножим значение на количество: S7 = 7 · 4 = 28.
Ответ: 28. Делить на q − 1 здесь нельзя: получилось бы деление на ноль.
Задачи для самостоятельного решения
В задачах на член сначала определите показатель степени. В задачах на сумму обратите внимание на значение q.
5. В геометрической прогрессии b1 = 3, q = −2. Найдите b5; нумерация начинается с 1.
6. В геометрической прогрессии b1 = 4, b2 = 12. Найдите q и b4.
7. В геометрической прогрессии b1 = 2, q = −1. Найдите сумму первых 6 членов, не бесконечную сумму.
8. Все члены геометрической прогрессии равны 5, то есть q = 1. Найдите сумму первых 8 членов.
9. В геометрической прогрессии b1 = 4, q = 0,5. Найдите b5; нумерация начинается с 1.
10. В геометрической прогрессии b1 = 5, b2 = 20. Найдите q и b4.
11. В геометрической прогрессии b1 = 3, q = 0,5. Найдите сумму первых 7 членов, не бесконечную сумму.
12. Все члены геометрической прогрессии равны 6, то есть q = 1. Найдите сумму первых 9 членов.
Ключ с вычислениями
5. b5 = 3 · (−2)^4 = 3 · 16 = 48. Четыре умножения на отрицательное число дают положительный множитель.
6. q = 12 / 4 = 3. Далее b4 = 4 · 3^3 = 4 · 27 = 108.
7. S6 = 2 · ((−1)^6 − 1) / (−1 − 1) = 2 · 0 / (−2) = 0. Проверка сложением: 2 − 2 + 2 − 2 + 2 − 2 = 0.
8. При q = 1 сумма восьми одинаковых членов равна S8 = 8 · 5 = 40.
9. b5 = 4 · (0,5)^4 = 4 · 0,0625 = 0,25.
10. q = 20 / 5 = 4. Затем b4 = 5 · 4^3 = 5 · 64 = 320.
11. S7 = 3 · ((0,5)^7 − 1) / (0,5 − 1). Поскольку (0,5)^7 = 0,0078125, получаем S7 = 3 · (−0,9921875) / (−0,5) = 5,953125.
12. При q = 1 сумма девяти одинаковых членов равна S9 = 9 · 6 = 54.
Если возникла ошибка, отдельно проверьте степень, скобки и выбор формулы суммы. Для регулярных занятий пригодится план самостоятельной подготовки к ОГЭ с проверкой прогресса.