Геометрическое место точек — это все точки, которые удовлетворяют одному условию, и только они. Если точка должна находиться на заданном расстоянии от центра, её место — окружность. Если она должна быть одинаково удалена от двух точек, её место — серединный перпендикуляр к отрезку между ними.
На рисунке важно увидеть не отдельные удачные точки, а полную линию, по которой может двигаться точка, сохраняя условие. Затем надо проверить ответ в обе стороны: каждая точка найденной линии подходит и любая подходящая точка обязана лежать на ней. Именно это отличает геометрическое место от рисунка с несколькими примерами.
Что в условии относится к точке
Представьте на листе неподвижную точку O и подвижную точку P. Условие «расстояние от P до O равно 3 см» разрешает передвигать P, но не менять длину OP. Можно отметить одну подходящую точку справа от O, другую сверху, третью слева. Ни одна из этих трёх точек не исчерпывает ответ.
Если провести циркулем окружность радиуса 3 см с центром O, получится множество всех допустимых положений P на плоскости. Точка внутри окружности слишком близка к O, точка снаружи слишком далека. Сама точка O тоже не подходит при ненулевом радиусе: расстояние от неё до себя равно нулю.
Слова «на заданном расстоянии» означают ровно указанную длину. Если задача говорит «не дальше 3 см», подходят ещё и точки внутри круга вместе с границей. Если сказано «ближе 3 см», точки на границе уже не подходят. Разница в одном слове меняет ответ: окружность, круг с границей или внутренняя часть круга без границы.
Поэтому перед построением переведите условие в короткую запись. «OP = 3 см» говорит о равенстве и ведёт к окружности. «OP ≤ 3 см» разрешает меньшие расстояния и ведёт к кругу. Рисунок помогает увидеть форму, а запись не даёт забыть, включена ли граница.
Почему заданное расстояние даёт окружность
Возьмите точку O, установите раствор циркуля 3 см и проведите линию. Пока игла остаётся в O, карандаш находится на расстоянии 3 см от него. Поэтому каждая точка проведённой окружности выполняет условие. Это первая половина проверки.
Теперь допустим, что точка P удовлетворяет условию OP = 3 см, но на проведённой окружности её будто бы нет. Такого быть не может: окружность с центром O и радиусом 3 см как раз состоит из точек, находящихся от O на этом расстоянии. Значит, любая подходящая точка уже принадлежит окружности. Это вторая половина проверки.
Обе части нужны. Если нарисовать только верхнюю полуокружность, каждая её точка действительно находится на расстоянии 3 см от O. Но нижние подходящие точки будут потеряны. Полуокружность удовлетворяет первому требованию и не удовлетворяет второму: она не содержит все точки с нужным расстоянием.
На чертеже циркулем удобно проверить сомнение. Отмеченная точка кажется близкой к линии? Соедините её с O и измерьте OP. Если длина отличается от радиуса, точка не принадлежит месту. Если длина совпадает, положение «выше», «ниже» или «сбоку» уже не важно.
Почему равноудалённые точки лежат на одной прямой
Теперь на листе заданы две разные точки A и B. Нужно найти все точки P, для которых PA = PB. Постройте отрезок AB, отметьте его середину M и проведите через M прямую под прямым углом к AB. Эта прямая называется серединным перпендикуляром.
Сначала посмотрите на точку M. Она равно удалена от A и B, потому что MA = MB: мы специально выбрали середину. Но ответ не ограничивается серединой. Если взять точку P выше M на перпендикуляре, отрезки PA и PB тоже равны. То же верно ниже M.
Почему? Треугольники PMA и PMB имеют общий отрезок PM, равные отрезки MA и MB, а углы при M в обоих треугольниках прямые. Поэтому их наклонные стороны PA и PB равны. Значит, каждая точка серединного перпендикуляра подходит.
Обратное направление тоже важно. Если PA = PB, треугольник APB равнобедренный с основанием AB. Линия из вершины P к середине основания M проходит под прямым углом к AB. Поэтому P находится на серединном перпендикуляре. Других подходящих точек вне этой прямой нет.
У этого геометрического места нет «нужной половины» по умолчанию. Точки выше и ниже отрезка AB равноправны, а сама середина M тоже принадлежит ответу. Если на рисунке показан только луч вверх от M, проверьте условие задачи: не ограничена ли область поиска верхней полуплоскостью. Без такого ограничения ответом будет вся прямая.
Как построить серединный перпендикуляр
Можно найти середину отрезка линейкой, а затем провести перпендикуляр угольником. Есть и построение циркулем, которое одновременно показывает симметрию относительно A и B.
Выберите раствор циркуля больше половины длины AB. Из точки A проведите дуги над отрезком и под ним. Не меняя раствор, проведите такие же дуги из точки B. Дуги пересекутся в двух точках: P над отрезком и Q под ним. Соедините P и Q прямой.
Каждая точка пересечения дуг находится на одинаковом расстоянии от A и B, потому что дуги строились одним раствором циркуля. Прямая PQ пересечёт AB в его середине под прямым углом. Она и есть искомое геометрическое место.
Если дуги не встретились, раствор циркуля слишком мал. При растворе меньше половины AB окружности с центрами A и B не пересекаются. Увеличьте раствор и повторите построение. Если дуги лишь коснулись в середине AB, получилась одна точка пересечения; для проведения прямой удобнее взять раствор немного больше.
Как проверить рисунок двумя вопросами
Когда предполагаемое место точек найдено, задайте себе два вопроса.
Первая проверка: «Любая точка нарисованной линии выполняет условие?» Для окружности проверьте несколько положений: справа, сверху и снизу от центра. Во всех случаях расстояние до центра равно радиусу. Для серединного перпендикуляра проверьте середину отрезка и точки по разные стороны от него: расстояния до A и B должны быть одинаковыми.
Вторая проверка: «Может ли подходящая точка остаться вне нарисованной линии?» Для окружности ответ исключает определение расстояния до центра. Для серединного перпендикуляра — свойство равноудалённой точки двух концов отрезка. Если вы нарисовали лишь дугу или луч, именно вторая проверка обнаружит пропущенные точки.
Полезно произносить условие и проверку вслух короткими фразами: «Здесь расстояния равны. Эта точка лежит на прямой. Точка вне прямой не подходит». Такой приём для поиска собственного сбоя в рассуждении описан в статье «Считает вслух — находит ошибку сам: приём для домашки по математике». Для геометрического места особенно важно не пропустить слово «все».
Когда условий несколько
Иногда точка должна выполнять сразу два условия. Например, P находится на расстоянии 4 см от O и одинаково удалена от A и B. Первое условие задаёт окружность с центром O и радиусом 4 см. Второе — серединный перпендикуляр к AB. Подходят только точки, которые принадлежат обеим линиям, то есть их пересечения.
На рисунке таких точек может быть две, одна или ни одной. Не объявляйте число решений заранее: оно зависит от взаимного положения окружности и прямой. Сначала постройте обе линии по своим условиям, затем отметьте общие точки и проверьте каждую. Точка на окружности, но вне серединного перпендикуляра выполняет лишь половину задания.
Похожий ход встречается в задачах о выборе места, одинаково удалённого от двух объектов и находящегося в определённой зоне. Рисунок переводит слова в линии и области. Примеры того, как математические отношения проявляются в повседневных ситуациях, собраны в статье «Пятнадцать раз в день — и всё математика, которую никто не замечает». В самой геометрической задаче решающим остаётся точное условие о расстояниях.
Частые вопросы
Чем геометрическое место точек отличается от одной найденной точки?
Одна точка может служить примером, но геометрическое место включает все подходящие положения. При условии PA = PB середина AB подходит, однако вместе с ней подходят и остальные точки серединного перпендикуляра.
Окружность и круг — одно и то же в такой задаче?
Нет. Окружность состоит из точек на фиксированном расстоянии от центра. Круг включает и точки, расстояние до которых меньше радиуса. Формулировки «равно 3 см» и «не больше 3 см» поэтому дают разные ответы.
Почему для двух точек нужна именно прямая через середину?
Середина AB задаёт равные расстояния до концов отрезка. Перпендикулярное направление сохраняет это равенство при движении точки в обе стороны от середины. Наклонная прямая через середину такого свойства для всех своих точек не имеет.
Как записать ответ, если на чертеже получилось две точки?
Назовите обе точки пересечения и укажите, что каждая выполняет все условия задачи. Если условия задают две линии, ответом будут их общие точки, а не линии целиком. Проверка помогает исключить точки, которые лежат только на одной из них.