Чтобы решить задачу на арифметическую прогрессию, определите, что нужно найти: отдельный член, разность или сумму. Затем выберите формулу и внимательно посчитайте число шагов между членами.
Ниже — четыре разобранные задачи и восемь для самостоятельной работы. После них есть ключ с вычислениями.
Формулы и обозначения
Арифметическая прогрессия — последовательность, в которой разность соседних членов постоянна. Обозначим первый член через a1, разность через d, а член с номером n через a_n. Нумерация начинается с единицы, n — положительное целое число.
По правилу общего члена арифметической прогрессии:
a_n = a1 + (n − 1)d.
Разность d бывает положительной, отрицательной или равной нулю. Между членами с номерами 3 и 7 находятся четыре шага, поэтому a7 − a3 = 4d.
Для суммы первых n членов используем формулу:
S_n = n(a1 + a_n) / 2.
Сначала найдите последний член нужного отрезка, если он неизвестен. Затем сложите первый и последний члены, умножьте результат на их количество и разделите на два.
Где легко ошибиться в вычислениях
- Вместо n − 1 подставляют n. От первого члена до восьмого семь переходов, а не восемь.
- Путают номер члена с его значением. В записи a7 число 7 — номер, а не обязательно значение.
- Теряют знак разности. Если последующий член меньше предыдущего, d отрицательна.
- При поиске разности по двум членам делят разность значений на больший номер, а не на количество шагов между номерами.
- При вычислении суммы подставляют d вместо последнего члена a_n. Это разные величины.
Найти член по первому числу и разности
Задача 1. В арифметической прогрессии a1 = 3, d = 2. Найдите a8; нумерация начинается с 1.
- От первого до восьмого члена — 8 − 1 = 7 шагов.
- За эти шаги значение изменится на 7 · 2 = 14.
- Прибавим изменение к первому члену: a8 = 3 + 14 = 17.
Ответ: 17. Для проверки можно последовательно прибавлять 2: восьмым числом получится 17.
Вычислить разность по двум членам
Задача 2. В арифметической прогрессии a1 = 11, a6 = 1. Найдите разность d.
- От первого до шестого члена — 6 − 1 = 5 шагов.
- Общее изменение равно 1 − 11 = −10.
- На каждый шаг приходится d = −10 / 5 = −2.
Ответ: −2. Знак согласуется с условием: от 11 к 1 значения уменьшаются.
Задача 3. В арифметической прогрессии a3 = 7, a7 = 19. Найдите d и a1.
- Между третьим и седьмым членами четыре шага: 7 − 3 = 4.
- Разность значений равна 19 − 7 = 12. Значит, d = 12 / 4 = 3.
- Третий член находится на два шага после первого. Поэтому a1 = 7 − 2 · 3 = 1.
Ответ: d = 3; a1 = 1. Проверка: от 1 до третьего члена получаем 1 + 2 · 3 = 7, а до седьмого — 1 + 6 · 3 = 19.
Найти сумму через последний член
Задача 4. В арифметической прогрессии a1 = 2, d = 3. Найдите сумму первых 7 членов.
- Найдём седьмой член: a7 = 2 + (7 − 1) · 3 = 20.
- Подставим первый и последний члены в формулу суммы: S7 = 7 · (2 + 20) / 2.
- Получим S7 = 7 · 22 / 2 = 77.
Ответ: 77. Здесь в сумме именно семь членов, хотя от первого до последнего шесть переходов.
Восемь задач для самостоятельной работы
Сначала запишите формулу или число шагов, затем выполните вычисления. Не заглядывайте в ключ до получения ответа.
5. В арифметической прогрессии a1 = 4, d = 1. Найдите a9; нумерация начинается с 1.
6. В арифметической прогрессии a1 = 12, a7 = 0. Найдите разность d.
7. В арифметической прогрессии a3 = 10, a7 = 26. Найдите d и a1.
8. В арифметической прогрессии a1 = 4, d = 3. Найдите сумму первых 8 членов.
9. В арифметической прогрессии a1 = 5, d = 0. Найдите a10; нумерация начинается с 1.
10. В арифметической прогрессии a1 = 13, a8 = −1. Найдите разность d.
11. В арифметической прогрессии a3 = 13, a7 = 33. Найдите d и a1.
12. В арифметической прогрессии a1 = 6, d = 3. Найдите сумму первых 9 членов.
Ответы и проверка
5. a9 = 4 + (9 − 1) · 1 = 12. Между первым и девятым членами восемь шагов.
6. d = (0 − 12) / (7 − 1) = −12 / 6 = −2. За шесть шагов значение уменьшилось на 12.
7. d = (26 − 10) / (7 − 3) = 16 / 4 = 4. Затем a1 = 10 − 2 · 4 = 2.
8. a8 = 4 + 7 · 3 = 25. Тогда S8 = 8 · (4 + 25) / 2 = 116.
9. a10 = 5 + 9 · 0 = 5. При нулевой разности каждый следующий член равен предыдущему.
10. d = (−1 − 13) / (8 − 1) = −14 / 7 = −2. В числителе учитываем знак последнего значения.
11. d = (33 − 13) / (7 − 3) = 20 / 4 = 5. Затем a1 = 13 − 2 · 5 = 3.
12. a9 = 6 + 8 · 3 = 30. Тогда S9 = 9 · (6 + 30) / 2 = 162.
Если ответ не совпал, проверьте сначала число переходов и знаки, а затем арифметику. Чтобы включить практику в расписание, используйте план самостоятельной подготовки к ОГЭ и проверки прогресса.