Период колебаний находят по разным формулам: для пружинного осциллятора нужны масса и жёсткость, для математического маятника — длина и ускорение свободного падения. Если известен период, из той же формулы можно выразить жёсткость или длину.
Ниже — четыре разбора и восемь задач для самостоятельной работы. Все ситуации рассматриваются как расчётные модели; ответы с π оставляем точными.
Выберите формулу по условию
Для идеального горизонтального осциллятора с невесомой линейной пружиной и без трения:
T = 2π√(m/k), f = 1/T.
Здесь T — период в секундах, f — частота в герцах, m — масса в килограммах, k — жёсткость в ньютонах на метр. В этой идеальной модели амплитуда не меняет период. Подробнее о модели — в учебнике OpenStax.
Для идеального математического маятника при малых колебаниях:
T = 2π√(l/g).
Здесь l — длина в метрах, g — ускорение свободного падения в м/с². Формула относится к модели с точечным грузом, невесомой нерастяжимой нитью и без сопротивления; её нельзя считать точной для любой амплитуды. См. учебник OpenStax о маятнике. Во всех задачах ниже g = 10 м/с² — учебное приближение.
Найдите период и частоту по массе и жёсткости
Задача 1. Идеальный горизонтальный пружинный осциллятор: масса 1 кг, жёсткость 4 Н/м. Трение отсутствует, пружина невесома, выполняется закон Гука. Найдите период и частоту. Ответ сохраните через π, не заменяя её десятичным приближением.
- Выбираем формулу пружинного осциллятора: T = 2π√(m/k).
- Подставляем данные: T = 2π√(1/4) = π с.
- Находим обратную величину: f = 1/T = 1/π Гц.
Ответ: T = π с; f = 1/π Гц.
Выразите жёсткость через известный период
Задача 2. Идеальный горизонтальный осциллятор с невесомой линейной пружиной и без трения: масса 1 кг, период 2π с. Найдите жёсткость пружины.
- Записываем T = 2π√(m/k) и делим обе части на 2π: T/(2π) = √(m/k).
- Получаем T/(2π) = 1 с. После возведения в квадрат m/k = 1 с².
- Выражаем k: k = m/(1 с²) = 1 Н/м.
Ответ: 1 Н/м.
Подставьте длину в формулу математического маятника
Задача 3. Идеальный математический маятник длиной 0,1 м совершает малые колебания; нить невесома и нерастяжима, груз точечный, сопротивлением пренебречь, g = 10 м/с². Найдите период, ответ сохраните через π.
- Для математического маятника выбираем T = 2π√(l/g).
- Подставляем длину и ускорение: T = 2π√(0,1/10).
- Так как √0,01 = 0,1, получаем T = 0,2π с = π/5 с.
Ответ: π/5 с.
Восстановите длину по периоду
Задача 4. Идеальный математический маятник при малых колебаниях имеет период π/2 с. Нить невесома и нерастяжима, груз точечный, сопротивления нет, g = 10 м/с². Найдите длину.
- Из T = 2π√(l/g) получаем T/(2π) = √(l/g).
- Возводим обе части в квадрат и выражаем длину: l = g · (T/(2π))².
- T/(2π) = 0,25 с, поэтому l = 10 · 0,25² = 0,625 м.
Ответ: 0,625 м.
Восемь задач для самостоятельного решения
В каждой задаче сначала определите модель и искомую величину, затем запишите формулу. Если нужно найти не период, выразите неизвестное до подстановки чисел.
5. Идеальный горизонтальный пружинный осциллятор: масса 4 кг, жёсткость 4 Н/м. Трение отсутствует, пружина невесома, выполняется закон Гука. Найдите период и частоту. Ответ сохраните через π, не заменяя её десятичным приближением.
6. Идеальный горизонтальный осциллятор с невесомой линейной пружиной и без трения: масса 2 кг, период 2π с. Найдите жёсткость пружины.
7. Идеальный математический маятник длиной 0,4 м совершает малые колебания; нить невесома и нерастяжима, груз точечный, сопротивлением пренебречь, g = 10 м/с². Найдите период, ответ сохраните через π.
8. Идеальный математический маятник при малых колебаниях имеет период π с. Нить невесома и нерастяжима, груз точечный, сопротивления нет, g = 10 м/с². Найдите длину.
9. Идеальный горизонтальный пружинный осциллятор: масса 9 кг, жёсткость 4 Н/м. Трение отсутствует, пружина невесома, выполняется закон Гука. Найдите период и частоту. Ответ сохраните через π, не заменяя её десятичным приближением.
10. Идеальный горизонтальный осциллятор с невесомой линейной пружиной и без трения: масса 3 кг, период 2π с. Найдите жёсткость пружины.
11. Идеальный математический маятник длиной 0,9 м совершает малые колебания; нить невесома и нерастяжима, груз точечный, сопротивлением пренебречь, g = 10 м/с². Найдите период, ответ сохраните через π.
12. Идеальный математический маятник при малых колебаниях имеет период 3π/2 с. Нить невесома и нерастяжима, груз точечный, сопротивления нет, g = 10 м/с². Найдите длину.
Ответы с вычислениями
5. T = 2π√(4/4) = 2π с. Частота f = 1/T = 1/(2π) Гц.
6. T/(2π) = 1 с, значит m/k = 1 с². Тогда k = 2 Н/м.
7. T = 2π√(0,4/10) = 2π√0,04 = 2π/5 с.
8. T/(2π) = 0,5 с. Длина l = 10 · 0,5² = 2,5 м.
9. T = 2π√(9/4) = 3π с. Частота f = 1/T = 1/(3π) Гц.
10. T/(2π) = 1 с, значит m/k = 1 с². Тогда k = 3 Н/м.
11. T = 2π√(0,9/10) = 2π√0,09 = 3π/5 с.
12. T/(2π) = 0,75 с. Длина l = 10 · 0,75² = 5,625 м.
Проверьте запись и единицы
Не подставляйте длину вместо массы: формулы относятся к разным моделям. Проверяя преобразование, не забывайте возвести в квадрат всё отношение T/(2π), а не только T. Период записывайте в секундах, частоту — в герцах, длину — в метрах, жёсткость — в Н/м.
Например, в задаче 4 значение 0,25 — ещё не длина: это T/(2π), измеренное в секундах. Чтобы получить длину, его нужно возвести в квадрат и умножить на g.
Если вы собираете программу повторения, пригодится маршрут подготовки к ОГЭ по физике с нуля.