Чтобы найти предел в этих задачах, сначала попробуйте подставить число, к которому стремится x. Если в дроби получается ноль и в числителе, и в знаменателе, преобразуйте выражение, а затем вычислите предел.
Четыре задачи ниже показывают выбор приёма. Ещё восемь можно решить самостоятельно и проверить по ключу.
Когда подстановка работает сразу
Запись x → a означает, что x стремится к числу a. Для полинома предел можно найти прямой подстановкой. Для дроби этот способ также подходит, если знаменатель после подстановки не равен нулю. Эти правила следуют из законов пределов и непрерывности.
Если подстановка в числитель и знаменатель даёт 0/0, это ещё не ответ. В предложенных задачах дробь можно преобразовать при x, отличном от точки стремления: разложить числитель на множители или умножить дробь на сопряжённое выражение. После сокращения проверяют знаменатель полученной дроби и находят предел.
Что проверить до ответа
- Не делите на ноль после первой подстановки. Запись 0/0 указывает на необходимость преобразования, а не на значение предела.
- Не сокращайте отдельные слагаемые. Сократить можно общий множитель числителя и знаменателя.
- При работе с корнем умножайте на сопряжённое и числитель, и знаменатель.
- Сохраняйте ограничение на x при сокращении: исходная дробь может быть не определена в точке, хотя её предел существует.
- После преобразования убедитесь, что новый знаменатель не стремится к нулю, прежде чем подставлять число.
Подставить значение в полином
Задача 1. Найдите предел x² + 2x + (−1) при x → 1, x действительный.
- Выражение является полиномом, поэтому подставим x = 1.
- Получим 1² + 2 · 1 + (−1).
- Вычислим: 1 + 2 − 1 = 2.
Ответ: 2. Здесь преобразование не требуется: значение полинома в точке равно его пределу.
Проверить знаменатель дроби
Задача 2. Найдите предел (x + 1) / (x + 1) при x → 2.
- Проверим знаменатель в точке: 2 + 1 = 3, это не ноль.
- Подставим 2 в числитель и знаменатель: (2 + 1) / (2 + 1).
- Получим 3 / 3 = 1.
Ответ: 1. Проверка знаменателя позволяет использовать прямую подстановку.
Разложить числитель и сократить множитель
Задача 3. Найдите предел (x² − 4) / (x − 2) при x → 2. В самой точке дробь не определена.
- Прямая подстановка даёт 0/0. Разложим числитель: x² − 4 = (x − 2)(x + 2).
- При x ≠ 2 сократим общий множитель x − 2. Получится x + 2.
- Найдём предел преобразованного выражения: 2 + 2 = 4.
Ответ: 4. Мы нашли предел, не определяя значение исходной дроби при x = 2.
Умножить на сопряжённое выражение
Задача 4. Найдите предел (√x − 1) / (x − 1) при x → 1, x ≥ 0, x ≠ 1.
- Подстановка даёт 0/0. Умножим числитель и знаменатель на √x + 1.
- В числителе получится (√x − 1)(√x + 1) = x − 1.
- При x ≠ 1 сократим множитель x − 1. Останется 1 / (√x + 1).
- Новый знаменатель стремится к 2, поэтому предел равен 1 / 2 = 0,5.
Ответ: 0,5. Сопряжённое отличается знаком между теми же двумя слагаемыми.
Восемь пределов для практики
Для каждой дроби сначала проверьте результат подстановки. Если получается 0/0, выберите подходящее преобразование и запишите ограничение на x.
5. Найдите предел x² + 3x + (1) при x → 2, x действительный.
6. Найдите предел (x + 3) / (x + 2) при x → 3.
7. Найдите предел (x² − 9) / (x − 3) при x → 3. В самой точке дробь не определена.
8. Найдите предел (√x − 2) / (x − 4) при x → 4, x ≥ 0, x ≠ 4.
9. Найдите предел x² + 4x + (3) при x → 3, x действительный.
10. Найдите предел (x + 5) / (x + 3) при x → 4.
11. Найдите предел (x² − 16) / (x − 4) при x → 4. В самой точке дробь не определена.
12. Найдите предел (√x − 3) / (x − 9) при x → 9, x ≥ 0, x ≠ 9.
Ответы с объяснением преобразований
5. Подставляем 2: 2² + 3 · 2 + 1 = 4 + 6 + 1 = 11.
6. Знаменатель при x = 3 равен 5, поэтому подстановка допустима: (3 + 3) / (3 + 2) = 6 / 5 = 1,2.
7. При x ≠ 3 числитель раскладывается как (x − 3)(x + 3). После сокращения остаётся x + 3, предел равен 3 + 3 = 6. Исходная дробь в точке x = 3 не определена.
8. Умножаем числитель и знаменатель на √x + 2. При x ≠ 4 сокращаем x − 4 и получаем 1 / (√x + 2). Предел равен 1 / (2 + 2) = 0,25.
9. Подставляем 3: 3² + 4 · 3 + 3 = 9 + 12 + 3 = 24.
10. Знаменатель при x = 4 равен 7. Подстановка даёт (4 + 5) / (4 + 3) = 9/7.
11. При x ≠ 4 раскладываем x² − 16 = (x − 4)(x + 4) и сокращаем общий множитель. Предел x + 4 при x → 4 равен 8; исходная дробь в этой точке не определена.
12. Умножаем числитель и знаменатель на √x + 3. При x ≠ 9 сокращаем x − 9 и получаем 1 / (√x + 3). Предел равен 1 / (3 + 3) = 1/6.
Если при сокращении дробей возникают ошибки, сначала повторите допустимые значения и сокращение дробно-рациональных выражений. Это поможет преобразовать дробь в проколотой окрестности точки и сохранить исходные ограничения.