Чтобы найти проекцию скорости A относительно B, вычтите проекцию скорости B из проекции скорости A: v(A/B) = v(A) − v(B). При вычитании сохраняйте знаки из условия: отрицательная скорость B стоит в скобках.
Потренируемся переходить между системами отсчёта и находить неизвестную скорость. Сначала разберём четыре задачи, затем решим ещё восемь и сверим вычисления.
Что означают знаки в записи скорости
Здесь используются одномерные расчётные модели: системы отсчёта инерциальны, их оси направлены одинаково, скорости постоянны и много меньше скорости света. Формула связывает именно проекции скоростей; модуль получают, взяв абсолютное значение результата. Правило перехода между системами изложено в учебнике OpenStax.
Обозначение v(A/B) читается как «скорость A относительно B». Порядок важен: если поменять A и B местами, знак относительной проекции изменится. Это не то же самое, что средняя скорость или время погони.
Вычтите скорость системы отсчёта
Задача 1. В одной инерциальной системе отсчёта две точки A и B движутся вдоль оси Ox с постоянными проекциями vA = 12 м/с, vB = 5 м/с. Найдите проекцию скорости A относительно B. Направление положительной оси в движущейся системе то же, нерелятивистская модель.
- Скорости заданы в одной системе, поэтому выбираем v(A/B) = vA − vB.
- Подставляем проекции: v(A/B) = 12 − 5 = +7 м/с.
- Плюс показывает направление вдоль положительной оси.
Ответ: +7 м/с.
Учтите отрицательную проекцию при вычитании
Задача 2. В общей инерциальной системе вдоль одной оси vA = +8 м/с, vB = −4 м/с. Оси систем направлены одинаково, скорости постоянны и нерелятивистские. Найдите проекцию и модуль скорости A относительно B.
- Записываем v(A/B) = vA − vB.
- Подставляем отрицательное значение в скобках: v(A/B) = 8 − (−4) = +12 м/с.
- Модуль полученной проекции равен 12 м/с.
Ответ: проекция +12 м/с, модуль 12 м/с.
Перейдите от платформы к земле
Задача 3. В учебной нерелятивистской модели транспортная платформа равномерно движется относительно земли со скоростью +10 м/с. Точка внутри имеет постоянную проекцию скорости −1 м/с относительно платформы вдоль той же оси. Найдите проекцию скорости точки относительно земли. Это только расчёт, не задание двигаться в реальном транспорте.
- Для обратного перехода складываем проекцию скорости точки относительно платформы и проекцию скорости платформы относительно земли.
- Получаем v(точка/земля) = −1 + 10 = +9 м/с.
- Результат положителен, хотя относительно платформы проекция точки отрицательна.
Ответ: +9 м/с.
Найдите скорость B из относительной скорости A
Задача 4. В общей инерциальной системе проекция скорости A равна +4 м/с. Относительно B проекция скорости A равна −2 м/с. Направления осей совпадают, все скорости постоянны и нерелятивистские. Найдите проекцию скорости B в исходной системе.
- Исходим из v(A/B) = vA − vB.
- Выражаем неизвестное: vB = vA − v(A/B).
- Подставляем: vB = 4 − (−2) = +6 м/с.
- Проверяем обратной подстановкой: 4 − 6 = −2 м/с.
Ответ: +6 м/с.
Задачи для самостоятельной работы
Перед вычислениями отметьте, относительно чего задана каждая скорость. Если нужно найти модуль, сначала вычислите проекцию со знаком.
5. В одной инерциальной системе отсчёта две точки A и B движутся вдоль оси Ox с постоянными проекциями vA = 15 м/с, vB = 7 м/с. Найдите проекцию скорости A относительно B. Направление положительной оси в движущейся системе то же, нерелятивистская модель.
6. В общей инерциальной системе вдоль одной оси vA = +10 м/с, vB = −5 м/с. Оси систем направлены одинаково, скорости постоянны и нерелятивистские. Найдите проекцию и модуль скорости A относительно B.
7. В учебной нерелятивистской модели транспортная платформа равномерно движется относительно земли со скоростью +12 м/с. Точка внутри имеет постоянную проекцию скорости −2 м/с относительно платформы вдоль той же оси. Найдите проекцию скорости точки относительно земли. Это только расчёт, не задание двигаться в реальном транспорте.
8. В общей инерциальной системе проекция скорости A равна +5 м/с. Относительно B проекция скорости A равна −3 м/с. Направления осей совпадают, все скорости постоянны и нерелятивистские. Найдите проекцию скорости B в исходной системе.
9. В одной инерциальной системе отсчёта две точки A и B движутся вдоль оси Ox с постоянными проекциями vA = 18 м/с, vB = 9 м/с. Найдите проекцию скорости A относительно B. Направление положительной оси в движущейся системе то же, нерелятивистская модель.
10. В общей инерциальной системе вдоль одной оси vA = +12 м/с, vB = −6 м/с. Оси систем направлены одинаково, скорости постоянны и нерелятивистские. Найдите проекцию и модуль скорости A относительно B.
11. В учебной нерелятивистской модели транспортная платформа равномерно движется относительно земли со скоростью +14 м/с. Точка внутри имеет постоянную проекцию скорости −3 м/с относительно платформы вдоль той же оси. Найдите проекцию скорости точки относительно земли. Это только расчёт, не задание двигаться в реальном транспорте.
12. В общей инерциальной системе проекция скорости A равна +6 м/с. Относительно B проекция скорости A равна −4 м/с. Направления осей совпадают, все скорости постоянны и нерелятивистские. Найдите проекцию скорости B в исходной системе.
Ключ: вычисления и ответы
5. v(A/B) = 15 − 7 = +8 м/с.
6. v(A/B) = 10 − (−5) = +15 м/с. Модуль равен 15 м/с.
7. v(точка/земля) = −2 + 12 = +10 м/с.
8. vB = vA − v(A/B) = 5 − (−3) = +8 м/с. Проверка: 5 − 8 = −3 м/с.
9. v(A/B) = 18 − 9 = +9 м/с.
10. v(A/B) = 12 − (−6) = +18 м/с. Модуль равен 18 м/с.
11. v(точка/земля) = −3 + 14 = +11 м/с.
12. vB = vA − v(A/B) = 6 − (−4) = +10 м/с. Проверка: 6 − 10 = −4 м/с.
Как проверить направление перехода
В записи v(A/B) объект A стоит первым, а система, связанная с B, — второй. Поэтому для перехода от общей системы к B вычитают vB, а не vA. В задачах 8 и 12 неизвестна именно vB: после вычисления её удобно подставить обратно в исходное равенство.
При переходе от платформы к земле складывают две проекции, но это не означает сложение их модулей. В задаче 11 отрицательная проекция −3 м/с уменьшает результат: получается +11 м/с, а не +17 м/с.
Для повторения других тем пригодится маршрут подготовки к ОГЭ по физике с нуля.