Если лодка проходит одно и то же расстояние по течению и против него, сначала найдите скорость в каждом направлении: разделите расстояние на соответствующее время. Затем сложите полученные скорости и разделите на два — это собственная скорость лодки. Вычтите меньшую скорость из большей и разделите на два — это скорость течения.
Обозначим равное расстояние через S, время по течению — через t₁, время против течения — через t₂. Тогда v₁ = S/t₁, v₂ = S/t₂, собственная скорость лодки равна (v₁ + v₂)/2, а скорость течения — (v₁ − v₂)/2. Здесь v₁ — скорость по течению, поэтому t₁ меньше t₂. Правило сложения и вычитания скоростей движения изложено в открытом учебнике OpenStax; условия и числа задач ниже — отдельные учебные примеры.
Что должно быть известно из условия
Для этого способа нужны одно и то же расстояние в обоих направлениях и время каждого перехода. Считаем, что лодка движется с постоянной собственной скоростью, течение тоже постоянно, а остановок нет. Путь по течению и обратный путь относятся к одному участку реки: тогда можно сравнивать две скорости на одинаковой дистанции.
В записи решения удобно сначала подписать не только числа, но и направления. Если расстояние дано в километрах, а время — в часах, скорость получится в км/ч. Не складывайте километры с часами и не подставляйте время напрямую в формулу для скорости лодки: сначала нужны два деления S/t.
Почему работает деление пополам? По течению лодке помогает река, против течения — мешает. В первой скорости влияние течения прибавлено к собственной скорости, во второй — вычтено из неё. При сложении двух скоростей влияние течения исчезает; при вычитании собственная скорость исчезает. В обоих случаях остаётся удвоенная искомая скорость.
Три разобранных примера
Пример 1
Условие. Лодка проходит 63 км по течению за 7 ч, а те же 63 км против течения за 9 ч. Найдите собственную скорость лодки и скорость течения. Обе скорости постоянны.
По течению лодка проходит за час 63/7 = 9 км/ч. Против течения — 63/9 = 7 км/ч. Быстрое направление определено верно: на равном расстоянии оно заняло меньше времени.
Собственная скорость находится как среднее двух полученных скоростей: (9 + 7)/2 = 8 км/ч. Скорость течения — половина их разности: (9 − 7)/2 = 1 км/ч.
Ответ: собственная скорость лодки — 8 км/ч; скорость течения — 1 км/ч. Проверка: по течению получается 8 + 1 = 9 км/ч, против течения 8 − 1 = 7 км/ч. При этих скоростях оба времени из условия восстанавливаются.
Пример 2
Условие. Лодка проходит 154 км по течению за 14 ч, а те же 154 км против течения за 22 ч. Найдите собственную скорость лодки и скорость течения. Обе скорости постоянны.
Сначала вычислим скорости движения относительно берега: 154/14 = 11 км/ч по течению и 154/22 = 7 км/ч против него. Не нужно делить 154 км на сумму двух времён: это дало бы скорость для другого вопроса, а не две скорости, необходимые здесь.
Складываем 11 и 7, чтобы убрать влияние течения: (11 + 7)/2 = 9 км/ч. Теперь берём половину разности: (11 − 7)/2 = 2 км/ч.
Ответ: собственная скорость лодки — 9 км/ч; скорость течения — 2 км/ч. Для контроля подставим их обратно: 9 + 2 = 11 км/ч, 9 − 2 = 7 км/ч. Деление 154 км на эти скорости даёт 14 и 22 ч.
Пример 3
Условие. Лодка проходит 91 км по течению за 7 ч, а те же 91 км против течения за 13 ч. Найдите собственную скорость лодки и скорость течения. Обе скорости постоянны.
На первом отрезке скорость равна 91/7 = 13 км/ч. На обратном — 91/13 = 7 км/ч. Хотя числа 7 и 13 встречаются и как времена, и как результаты деления, их нельзя переносить в ответ без расчёта: ответ относится к лодке и течению, а не к двум направлениям пути.
Находим собственную скорость: (13 + 7)/2 = 10 км/ч. Находим скорость течения: (13 − 7)/2 = 3 км/ч.
Ответ: собственная скорость лодки — 10 км/ч; скорость течения — 3 км/ч. Проверка по расстоянию: 13 км/ч за 7 ч дают 91 км, а 7 км/ч за 13 ч тоже дают 91 км.
Восемь упражнений
В каждом задании найдите две величины: собственную скорость лодки и скорость течения. Полезно записывать промежуточные скорости по течению и против него отдельно, даже если деление кажется простым. Ответы расположены после всех условий, чтобы их можно было закрыть во время работы.
- Лодка проходит 120 км по течению за 10 ч, а те же 120 км против течения за 12 ч. Найдите собственную скорость лодки и скорость течения. Обе скорости постоянны.
- Лодка проходит 70 км по течению за 5 ч, а те же 70 км против течения за 7 ч. Найдите собственную скорость лодки и скорость течения. Обе скорости постоянны.
- Лодка проходит 160 км по течению за 10 ч, а те же 160 км против течения за 16 ч. Найдите собственную скорость лодки и скорость течения. Обе скорости постоянны.
- Лодка проходит 195 км по течению за 13 ч, а те же 195 км против течения за 15 ч. Найдите собственную скорость лодки и скорость течения. Обе скорости постоянны.
- Лодка проходит 442 км по течению за 26 ч, а те же 442 км против течения за 34 ч. Найдите собственную скорость лодки и скорость течения. Обе скорости постоянны.
- Лодка проходит 247 км по течению за 13 ч, а те же 247 км против течения за 19 ч. Найдите собственную скорость лодки и скорость течения. Обе скорости постоянны.
- Лодка проходит 288 км по течению за 16 ч, а те же 288 км против течения за 18 ч. Найдите собственную скорость лодки и скорость течения. Обе скорости постоянны.
- Лодка проходит 80 км по течению за 4 ч, а те же 80 км против течения за 5 ч. Найдите собственную скорость лодки и скорость течения. Обе скорости постоянны.
Ответы и вычисления
В каждой строке сначала стоят скорости по течению и против течения, затем — собственная скорость лодки и скорость течения. Это позволяет найти место ошибки, если итог не совпал.
- 120/10 = 12; 120/12 = 10; (12 + 10)/2 = 11; (12 − 10)/2 = 1. Ответ: 11 км/ч и 1 км/ч.
- 70/5 = 14; 70/7 = 10; (14 + 10)/2 = 12; (14 − 10)/2 = 2. Ответ: 12 км/ч и 2 км/ч.
- 160/10 = 16; 160/16 = 10; (16 + 10)/2 = 13; (16 − 10)/2 = 3. Ответ: 13 км/ч и 3 км/ч.
- 195/13 = 15; 195/15 = 13; (15 + 13)/2 = 14; (15 − 13)/2 = 1. Ответ: 14 км/ч и 1 км/ч.
- 442/26 = 17; 442/34 = 13; (17 + 13)/2 = 15; (17 − 13)/2 = 2. Ответ: 15 км/ч и 2 км/ч.
- 247/13 = 19; 247/19 = 13; (19 + 13)/2 = 16; (19 − 13)/2 = 3. Ответ: 16 км/ч и 3 км/ч.
- 288/16 = 18; 288/18 = 16; (18 + 16)/2 = 17; (18 − 16)/2 = 1. Ответ: 17 км/ч и 1 км/ч.
- 80/4 = 20; 80/5 = 16; (20 + 16)/2 = 18; (20 − 16)/2 = 2. Ответ: 18 км/ч и 2 км/ч.
Если ответ не сошёлся
Характерная ошибка — считать скоростью течения всю разность скоростей по течению и против него. Но разность включает влияние реки дважды: в одном направлении она ускоряет лодку, в другом настолько же замедляет. Поэтому разность надо делить на два.
Проверяйте ответ в обратном порядке. Прибавьте найденную скорость течения к собственной скорости лодки — должна получиться скорость по течению. Вычтите — должна получиться скорость против течения. Затем умножьте каждую скорость на соответствующее время: оба произведения должны равняться расстоянию из условия. Такая проверка обнаруживает и ошибку в делении, и перепутанные направления.
Если пока трудно различать расстояние, время и скорость, сначала разберите связь между ними в статье «Скорость: как объяснить ребёнку путь и время». Здесь эта связь нужна на первом шаге — при вычислении S/t для каждого направления.