После добавления воды масса сахара остаётся прежней, а общая масса раствора увеличивается. Поэтому новую массовую долю находят в два действия: вычисляют массу сахара в исходном растворе и делят её на новую массу раствора.
Формула: p_нов = mp/(m + w), где m — исходная масса раствора в граммах, p — исходная массовая доля сахара в процентах, w — масса добавленной воды в граммах. Результат p_нов получается в процентах. Если удобнее считать по шагам, сначала найдите массу сахара: m_сахара = mp/100, затем вычислите p_нов = 100m_сахара/(m + w). Здесь речь только об учебных вычислениях с массами, а не о приготовлении раствора.
Что меняется в задаче
Представьте запись с двумя строками: «сахар» и «весь раствор». После добавления воды в строке «сахар» остаётся то же число граммов. В строке «весь раствор» к исходной массе прибавляется масса воды. Процент — это отношение первой массы ко второй, умноженное на 100.
Например, исходные 10% не означают, что после добавления воды к ним нужно прибавить или отнять какой-то фиксированный процент. Вода не добавляет сахар. Чтобы получить новый процент, нужен новый знаменатель — масса всего полученного раствора.
Правило сохранения массы вещества и расчёт доли через массу всей смеси согласуются с изложением задач о смесях в открытом учебнике OpenStax. Ниже — отдельные учебные задачи; для их решения достаточно данных в каждом условии.
Три расчёта при добавлении воды
Пример 1. Исходная масса — 100 г
Условие. В учебной задаче имеется 100 г раствора сахара с массовой долей сахара 10%. К нему добавили 100 г воды. Масса сахара не изменилась, потерь нет. Найдите массовую долю сахара в полученном растворе.
Шаг 1. Найдём массу сахара. Десять процентов от 100 г — это 100 × 10/100 = 10 г. Именно эти 10 г будут числителем при расчёте новой доли: по условию сахар не исчез и не добавился.
Шаг 2. Найдём массу полученного раствора. К 100 г исходного раствора добавили 100 г воды, значит, общая масса равна 100 + 100 = 200 г.
Шаг 3. Переведём долю в проценты. На 200 г полученного раствора приходится 10 г сахара: 10/200 × 100 = 5%.
Ответ: 5%. Проверка здравым смыслом: масса раствора стала вдвое больше, а масса сахара не изменилась. Поэтому доля сахара стала вдвое меньше исходных 10%.
Пример 2. В расчёте появляется дробное число граммов
Условие. В учебной задаче имеется 150 г раствора сахара с массовой долей сахара 15%. К нему добавили 150 г воды. Масса сахара не изменилась, потерь нет. Найдите массовую долю сахара в полученном растворе.
Здесь важно не отбросить дробную часть при вычислении массы сахара. Исходные 15% от 150 г составляют 150 × 15/100 = 22,5 г. В полученном растворе сахара по-прежнему 22,5 г, а масса всего раствора равна 150 + 150 = 300 г.
Теперь делим массу сахара на массу всего раствора: 22,5/300 × 100 = 7,5%.
Ответ: 7,5%. Дробное число в промежуточном расчёте не требует округления. Если заменить 22,5 г на 22 или 23 г, получится уже ответ на другую задачу.
Пример 3. Сначала считаем граммы, затем проценты
Условие. В учебной задаче имеется 200 г раствора сахара с массовой долей сахара 20%. К нему добавили 200 г воды. Масса сахара не изменилась, потерь нет. Найдите массовую долю сахара в полученном растворе.
Масса сахара в исходном растворе: 200 × 20/100 = 40 г. Масса полученного раствора: 200 + 200 = 400 г. Новая массовая доля: 40/400 × 100 = 10%.
Ответ: 10%. Здесь, как и в первых двух примерах, масса добавленной воды равна исходной массе раствора. Это позволяет проверить ответ делением начального процента пополам. Но основным способом остаётся расчёт через граммы: он показывает, какая масса не меняется и какая увеличивается.
Как не перепутать числа в формуле
В записи p_нов = mp/(m + w) исходный процент p умножают на исходную массу раствора m. Нельзя умножать его на массу добавленной воды: вода в условиях этих задач не содержит сахара. Также нельзя делить найденную массу сахара только на массу воды. Знаменатель — это весь полученный раствор, то есть m + w.
Удобно подписывать величины перед вычислением: «сахар — … г», «весь раствор после добавления воды — … г». Такая запись особенно помогает, когда исходный процент и масса выражены похожими числами. Единицы измерения тоже служат подсказкой: сначала ответ о сахаре получается в граммах, окончательный ответ — в процентах.
Одна характерная ошибка — записать 10/100 × 100 в первом примере и снова получить 10%. В этом выражении использована прежняя масса раствора. После добавления воды надо заменить знаменатель на 200 г. Быстрая проверка: если добавили воду и масса сахара не изменилась, новая доля должна быть меньше исходной. Если ответ остался тем же или вырос, проверьте знаменатель и арифметику.
Восемь задач о разбавлении
Во всех упражнениях ниже речь идёт о массовой доле сахара. Сначала найдите массу сахара в исходном растворе, затем общую массу после добавления воды. Ответы расположены отдельно, чтобы можно было проверить своё решение после всех восьми задач.
Задача 4
В учебной задаче имеется 250 г раствора сахара с массовой долей сахара 25%. К нему добавили 250 г воды. Масса сахара не изменилась, потерь нет. Найдите массовую долю сахара в полученном растворе.
Задача 5
В учебной задаче имеется 300 г раствора сахара с массовой долей сахара 10%. К нему добавили 300 г воды. Масса сахара не изменилась, потерь нет. Найдите массовую долю сахара в полученном растворе.
Задача 6
В учебной задаче имеется 350 г раствора сахара с массовой долей сахара 15%. К нему добавили 350 г воды. Масса сахара не изменилась, потерь нет. Найдите массовую долю сахара в полученном растворе.
Задача 7
В учебной задаче имеется 400 г раствора сахара с массовой долей сахара 20%. К нему добавили 400 г воды. Масса сахара не изменилась, потерь нет. Найдите массовую долю сахара в полученном растворе.
Задача 8
В учебной задаче имеется 450 г раствора сахара с массовой долей сахара 25%. К нему добавили 450 г воды. Масса сахара не изменилась, потерь нет. Найдите массовую долю сахара в полученном растворе.
Задача 9
В учебной задаче имеется 500 г раствора сахара с массовой долей сахара 10%. К нему добавили 500 г воды. Масса сахара не изменилась, потерь нет. Найдите массовую долю сахара в полученном растворе.
Задача 10
В учебной задаче имеется 550 г раствора сахара с массовой долей сахара 15%. К нему добавили 550 г воды. Масса сахара не изменилась, потерь нет. Найдите массовую долю сахара в полученном растворе.
Задача 11
В учебной задаче имеется 600 г раствора сахара с массовой долей сахара 20%. К нему добавили 600 г воды. Масса сахара не изменилась, потерь нет. Найдите массовую долю сахара в полученном растворе.
Проверяем массовую долю сахара
Сверяйте не только конечный процент. Если ответ различается, найдите первый шаг, на котором ваши числа перестали совпадать: массу сахара, общую массу или перевод доли в проценты.
- 12,5%: 250 × 25/100 = 62,5 г; 250 + 250 = 500 г; 62,5/500 × 100 = 12,5%.
- 5%: 300 × 10/100 = 30 г; 300 + 300 = 600 г; 30/600 × 100 = 5%.
- 7,5%: 350 × 15/100 = 52,5 г; 350 + 350 = 700 г; 52,5/700 × 100 = 7,5%.
- 10%: 400 × 20/100 = 80 г; 400 + 400 = 800 г; 80/800 × 100 = 10%.
- 12,5%: 450 × 25/100 = 112,5 г; 450 + 450 = 900 г; 112,5/900 × 100 = 12,5%.
- 5%: 500 × 10/100 = 50 г; 500 + 500 = 1000 г; 50/1000 × 100 = 5%.
- 7,5%: 550 × 15/100 = 82,5 г; 550 + 550 = 1100 г; 82,5/1100 × 100 = 7,5%.
- 10%: 600 × 20/100 = 120 г; 600 + 600 = 1200 г; 120/1200 × 100 = 10%.
Во всех восьми упражнениях воды добавили столько же граммов, сколько весил исходный раствор. Поэтому после полного вычисления можно провести ещё одну независимую проверку: полученный процент должен составлять половину исходного. Это свойство именно данных условий, а не замена общей формулы для любой массы добавленной воды.
Если трудность возникает раньше — на самом действии «найти процент от числа», — полезно сначала разобрать две задачи на проценты для ребёнка в 6 классе, а затем вернуться к расчёту массы сахара.