В задачах на постоянную производительность одного исполнителя связаны три величины: объём работы, время и объём работы за один час. Чтобы найти весь объём, умножьте производительность на время. Чтобы найти производительность или время, разделите известный объём на другую известную величину.
Сначала определите, что именно спрашивают: сколько деталей изготовлено, сколько деталей приходится на час или сколько часов потребуется. Затем проверьте единицы ответа. Это помогает выбрать действие без угадывания по числам в условии.
Что означает «деталей в час»
Обозначим объём работы буквой Q, время — t, а постоянную производительность — v. Если v измеряется в деталях за час, а t — в часах, то Q = v × t. Из этого же равенства получаются два других правила: v = Q / t и t = Q / v.
Производительность здесь — отношение количества деталей ко времени. Открытый учебник OpenStax объясняет, как отношения сравнивают величины с разными единицами и что означает значение «на одну единицу»; условия задач ниже составлены отдельно.
Слова «производительность постоянна» важны. Они разрешают считать, что в каждый час выполняется одинаковый объём работы. Указание «без перерывов» означает, что всё названное время входит в работу. Это условия математической модели, а не утверждение о том, как человек работает в действительности.
Как выбрать действие по вопросу
Если дана производительность в деталях за час и известно число часов, умножайте. Например, единицы подсказывают действие: «деталей/ч × ч» даёт детали. Результат отвечает на вопрос об общем объёме.
Если известны общее количество деталей и время, делите количество на время. Получится число деталей за один час: «детали / ч» — это производительность. Такой ответ нельзя записывать просто в деталях, потому что вопрос не о полном объёме.
Если известны общий объём и производительность, делите объём на производительность. Единицы сократятся иначе: «детали / (детали/ч)» дают часы. Значит, результат отвечает на вопрос о времени.
Перед вычислением полезно пересказать условие коротко: «известно за час и сколько часов — ищу всего» или «известно всего и за час — ищу часы». Если текст задачи мешает увидеть эти данные, поможет разбор того, как помочь ребёнку понять условие задачи. В самих вычислениях ниже участвует только один исполнитель: складывать производительности нескольких людей не требуется.
Три разобранных примера
Пример 1. Находим общий объём
Один исполнитель изготавливает по 3 детали в час с постоянной производительностью. Сколько деталей он изготовит за 2 ч без перерывов?
За каждый час получается по 3 детали, а рабочих часов 2. Значит, нужен общий объём: Q = v × t = 3 × 2 = 6 деталей. Ответ: 6 деталей.
Проверить смысл результата можно без нового действия: найдено количество за всё указанное время, поэтому единица ответа — «деталей», а не «деталей в час». Если бы в ответе осталась единица производительности, вопрос задачи не был бы решён.
Пример 2. Находим объём за один час
Один исполнитель за 3 ч без перерывов изготовил 12 деталей. Производительность постоянна. Сколько деталей он изготавливает за час?
Известен общий объём Q = 12 деталей и время t = 3 ч. Чтобы узнать объём за один час, делим: v = Q / t = 12 / 3 = 4 детали в час. Ответ: 4 детали в час.
Обратная проверка: 4 детали в час × 3 ч = 12 деталей. Мы получили тот же полный объём, который дан в условии. Эта проверка особенно полезна, когда после деления легко забыть указать «в час».
Пример 3. Находим время
Один исполнитель изготавливает по 5 деталей в час с постоянной производительностью. Сколько часов потребуется, чтобы изготовить 20 деталей без перерывов?
Теперь дан полный объём Q = 20 деталей и производительность v = 5 деталей в час. Искомая величина — время: t = Q / v = 20 / 5 = 4 ч. Ответ: 4 ч.
Проверяем: за 4 ч при такой производительности получится 5 × 4 = 20 деталей. Ответ выражен в часах, как и требуется в вопросе. Здесь нельзя складывать 20 и 5: эти числа описывают разные величины.
Восемь задач для самостоятельного решения
В каждой задаче работает один исполнитель, а указанная производительность остаётся постоянной. Определите искомую величину, запишите подходящее действие и укажите единицу ответа. Условия не требуют предполагать дополнительные перерывы, смены или других исполнителей.
- Один исполнитель изготавливает по 6 деталей в час с постоянной производительностью. Сколько деталей он изготовит за 5 ч без перерывов?
- Один исполнитель за 2 ч без перерывов изготовил 14 деталей. Производительность постоянна. Сколько деталей он изготавливает за час?
- Один исполнитель изготавливает по 8 деталей в час с постоянной производительностью. Сколько часов потребуется, чтобы изготовить 24 детали без перерывов?
- Один исполнитель изготавливает по 9 деталей в час с постоянной производительностью. Сколько деталей он изготовит за 4 ч без перерывов?
- Один исполнитель за 5 ч без перерывов изготовил 50 деталей. Производительность постоянна. Сколько деталей он изготавливает за час?
- Один исполнитель изготавливает по 11 деталей в час с постоянной производительностью. Сколько часов потребуется, чтобы изготовить 22 детали без перерывов?
- Один исполнитель изготавливает по 12 деталей в час с постоянной производительностью. Сколько деталей он изготовит за 3 ч без перерывов?
- Один исполнитель за 4 ч без перерывов изготовил 52 детали. Производительность постоянна. Сколько деталей он изготавливает за час?
В этих задачах меняется не только число, но и вопрос. Не переносите действие из предыдущего пункта автоматически. Сначала найдите в условии две известные величины, а затем определите третью. Если спрашивают «за час», ответ должен быть производительностью; если «сколько часов» — временем.
Ответы с вычислениями
1. Известны производительность и время, поэтому Q = v × t = 6 × 5 = 30 деталей. Проверка: 30 / 5 = 6 деталей в час. Ответ: 30 деталей.
2. Известны объём и время: v = Q / t = 14 / 2 = 7 деталей в час. Проверка: 7 × 2 = 14 деталей. Ответ: 7 деталей в час.
3. Ищем время: t = Q / v = 24 / 8 = 3 ч. Проверка: 8 × 3 = 24 детали. Ответ: 3 ч.
4. Ищем общий объём: Q = v × t = 9 × 4 = 36 деталей. Проверка: 36 / 4 = 9 деталей в час. Ответ: 36 деталей.
5. Ищем производительность: v = Q / t = 50 / 5 = 10 деталей в час. Проверка: 10 × 5 = 50 деталей. Ответ: 10 деталей в час.
6. Ищем время: t = Q / v = 22 / 11 = 2 ч. Проверка: 11 × 2 = 22 детали. Ответ: 2 ч.
7. Ищем общий объём: Q = v × t = 12 × 3 = 36 деталей. Проверка: 36 / 3 = 12 деталей в час. Ответ: 36 деталей.
8. Ищем производительность: v = Q / t = 52 / 4 = 13 деталей в час. Проверка: 13 × 4 = 52 детали. Ответ: 13 деталей в час.
Как исправить типичные ошибки
Перепутали два деления. В обоих случаях в числителе стоит общий объём работы, но делитель зависит от вопроса. Чтобы найти производительность, делите объём на время. Чтобы найти время, делите объём на производительность. Подпишите величины перед вычислением — тогда одинаковый знак деления не скроет разницу.
Получили число без единицы. Запись «4» не показывает, что найдено: четыре детали, четыре часа или четыре детали в час. Сопоставьте ответ с вопросом и допишите единицу. Для производительности особенно важно сохранить слова «в час».
Проверили только арифметику. Верное вычисление ещё может отвечать не на тот вопрос. Сделайте обратную проверку через Q = v × t: произведение производительности и времени должно совпасть с общим объёмом. После этого снова прочитайте вопрос и убедитесь, что в ответ вынесена именно искомая величина.
Все приведённые вычисления относятся к условиям с постоянной производительностью. Если в другой задаче скорость работы меняется или названы перерывы, сначала нужно учесть эти условия, а не автоматически применять одно действие ко всему времени.