Два уравнения равносильны, если у них совпадают все действительные корни. Сравнивать нужно именно полные наборы решений: одного общего корня недостаточно. Например, уравнения 2x + 6 = 14 и x = 4 равносильны, потому что у каждого единственный корень — 4.
Самый надёжный способ проверить спорный шаг — найти корни до и после него и сравнить полученные наборы. При решении длинного уравнения удобнее заранее замечать действия, способные изменить набор корней: деление на выражение с x, умножение на такое выражение и возведение обеих частей в квадрат.
Сначала договоритесь, какие корни сравниваете
В этой статье речь идёт о действительных числах. Если записать x² = 9, его корни — −3 и 3. У уравнения x = 3 только один корень — 3. Общий ответ есть, но множества {−3, 3} и {3} различаются, значит, уравнения неравносильны.
Важен и случай без решений. У x² + 4 = 0 нет действительных корней: квадрат действительного числа неотрицателен и вместе с 4 не даст ноль. У 0x = 7 действительных корней тоже нет. Эти два уравнения выглядят совершенно по-разному, однако равносильны на действительных числах: оба имеют пустой набор корней.
Не нужно считать, сколько раз корень встретился при разложении. Уравнения (x − 2)² = 0 и x − 2 = 0 имеют один и тот же набор {2}. Для равносильности важно значение корня, а не его кратность.
Перед сравнением посмотрите, где определены обе записи. Например, у дроби 1/(x − 2) нельзя подставить x = 2. Если после преобразования знаменатель исчез, это ограничение всё равно нужно учитывать при решении исходного уравнения. Для простых многочленов такой отдельной проверки нет: они определены при любом действительном x.
Какие действия сохраняют набор корней
К обеим частям уравнения можно прибавить или из обеих частей вычесть одно и то же выражение, определённое при рассматриваемых x. Полученные равенства будут выполняться при тех же значениях x. Так, из 2x + 6 = 14 вычитаем 6: 2x = 8. Делим обе части на 2: x = 4. Здесь число 2 заведомо не равно нулю, поэтому корень не пропадает.
Умножение и деление обеих частей на одно и то же ненулевое число тоже сохраняют корни. Знак числа роли не играет: деление на −3 столь же допустимо, как деление на 3. При записи решения полезно показывать сам шаг, особенно если перед ним были скобки и легко ошибиться со знаком.
С выражением, зависящим от x, осторожнее: оно может обратиться в ноль. Если вы делите на x − 5, сначала выясните, что происходит при x = 5. Если умножаете на x − 5, проверьте, не стало ли x = 5 новым решением. Такую проверку нельзя заменить фразой «сократим одинаковые части»: именно в сокращаемой части может скрываться корень.
Как деление теряет решение
Возьмём уравнение x(x − 4) = 0. Произведение равно нулю, когда x = 0 или x − 4 = 0. Полный ответ: {0, 4}.
Если сразу поделить обе части на x, получится x − 4 = 0 и ответ {4}. Деление оказалось допустимым только при x ≠ 0. Значение x = 0 исключили вместе с делителем, хотя оно подходило исходному уравнению. Поэтому записанные до и после деления уравнения неравносильны.
Сохранить решение можно, разделив работу на случаи:
- При x = 0 проверяем исходное уравнение: 0 · (0 − 4) = 0. Корень подходит.
- При x ≠ 0 делим на x и получаем x = 4.
Этот приём пригодится и тогда, когда делитель длиннее. Для (x − 1)(x + 6) = 0 не стоит без проверки делить на x − 1: значение x = 1 даст ноль в исходном произведении. Сначала рассмотрите нулевое значение делителя, затем решайте оставшийся случай.
Как умножение и квадрат добавляют корни
Рассмотрим x = 4. Если умножить обе части на x − 4, выйдет x(x − 4) = 4(x − 4). Переносим всё влево и выносим общий множитель: (x − 4)² = 0. Здесь новый корень не появился: по-прежнему подходит только x = 4. Но это не означает, что умножение на выражение с x всегда безопасно.
Сравним другое исходное уравнение: x = 3. После умножения обеих частей на x − 4 получим x(x − 4) = 3(x − 4), то есть (x − 3)(x − 4) = 0. Теперь подходят 3 и 4. При x = 4 множитель x − 4 равен нулю, поэтому обе части нового уравнения обратились в ноль, хотя исходное равенство 4 = 3 неверно. Корень 4 добавлен преобразованием.
Похожая опасность возникает при возведении в квадрат. Из x = 4 следует x² = 16. Обратное неверно: у x² = 16 два корня, −4 и 4. Квадрат стёр различие между положительным и отрицательным числом. Поэтому после такого шага решения уравнения с квадратами становятся кандидатами для исходного уравнения.
Можно проверить подстановкой: 4 = 4 верно, а −4 = 4 неверно. Такая проверка отсеивает лишний ответ. Она не доказывает, что более раннее деление нигде не потеряло корень: исчезнувшее значение может вообще не попасть в список кандидатов.
Как проверить цепочку преобразований
Начните с исходной записи и отмечайте условие у каждого шага, где оно нужно. Для деления на x + 2 условие — x ≠ −2. Значение −2 отдельно подставьте в исходное уравнение. Для возведения в квадрат решите полученное уравнение, а затем подставьте каждый кандидат в первоначальную запись.
В конце сравните два списка, если задача просит именно равносильность уравнений. Например:
- x² − 5x + 6 = 0 даёт (x − 2)(x − 3) = 0, то есть {2, 3};
- x − 2 = 0 даёт {2}.
Преобразование к одному множителю потеряло 3. Подстановка x = 2 в оба уравнения подтвердит лишь общий корень; различие обнаруживается, когда решены оба уравнения полностью.
Если после преобразований появилась замена переменной, доводите проверку до исходного x. В задачах об уравнениях, сводящихся к квадратным: замене переменной и проверке ответ для новой переменной ещё нужно перевести обратно и сверить с первоначальным уравнением.
Попробуйте сравнить сами
Для каждой пары найдите все действительные корни обоих уравнений. Затем укажите, равносильны ли они. Не ограничивайтесь проверкой одного удачного значения.
1. 5x − 10 = 0 и x = 2.
2. (x + 3)(x − 1) = 0 и x − 1 = 0.
3. x² = 25 и x = 5.
4. x² + 1 = 0 и 2x² + 3 = 0.
5. x(x + 2) = 0 и x + 2 = 0.
6. x − 1 = 0 и (x − 1)(x + 4) = 0.
Ключ с проверкой
1. Из 5x − 10 = 0 следует 5x = 10, затем x = 2. У второго уравнения тот же единственный корень. Наборы {2} и {2} совпадают: уравнения равносильны.
2. Первое произведение равно нулю при x = −3 или x = 1. Второе уравнение даёт только x = 1. Наборы {−3, 1} и {1} различаются. Если бы мы поделили первое уравнение на x + 3 без отдельного случая, потеряли бы −3.
3. Из x² = 25 получаем x = −5 или x = 5: оба числа при возведении в квадрат дают 25. Второе уравнение имеет только корень 5. Уравнения неравносильны.
4. При любом действительном x значение x² + 1 положительно. Значение 2x² + 3 тоже положительно. Оба набора корней пусты, поэтому уравнения равносильны.
5. Первое уравнение даёт x = 0 или x = −2. Второе — только x = −2. Уравнения неравносильны: при делении первого на x потерялся бы корень 0.
6. У первого уравнения корень 1. У второго произведение равно нулю при x = 1 или x = −4. Уравнения неравносильны. Корень −4 появился бы, если получить второе уравнение умножением первого на x + 4.