Для простейшего тригонометрического уравнения сначала проверьте, может ли функция принять число справа. Затем найдите основные углы, запишите все повторяющиеся решения и, если дан промежуток, оставьте только корни внутри него. Для sin x = a и cos x = a действительные корни возможны лишь при |a| ≤ 1; у tg x = a корни есть при любом действительном a.
Ниже все углы записаны в радианах. Целое число k в формулах пробегает значения …, −2, −1, 0, 1, 2, … . Оно позволяет получить все углы с нужным значением функции, включая отрицательные и лежащие дальше одного полного оборота.
Проверьте правую часть до вычислений
Синус и косинус принимают значения от −1 до 1. Поэтому уравнения sin x = 1,4 и cos x = −2 не имеют действительных решений. Здесь не помогут ни подбор угла, ни добавление периода: подходящего значения у функции нет.
Тангенс может равняться любому действительному числу, но определён не при каждом угле. Значения x = π/2 + πk для тангенса запрещены. При записи решений tg x = a они не появятся, однако об этом ограничении стоит помнить, если уравнение получено после преобразований. Деление обеих частей на cos x, например, требует отдельно учитывать случаи, когда cos x = 0.
До применения формулы уточните и запись самого задания. Если справа стоит √3/2, это число между нулём и единицей. Если справа стоит √3, оно больше единицы: для синуса и косинуса вывод будет совсем другим. Такая проверка занимает меньше времени, чем поиск угла для невозможного равенства.
Решите уравнение sin x = a
Для |a| ≤ 1 обозначьте α = arcsin a. Арксинус даёт угол α из промежутка [−π/2; π/2]. У синуса обычно есть два подходящих угла за один полный оборот: α и π − α. Поэтому все решения записываются двумя сериями:
x = α + 2πk или x = π − α + 2πk, где k — целое число.
Рассмотрим sin x = −1/2. Здесь α = −π/6. Первая серия: x = −π/6 + 2πk. Вторая: x = π − (−π/6) + 2πk = 7π/6 + 2πk. Минус перед скобками во второй строке меняет знак угла; если его потерять, получится неверный ответ.
Для ответа на [0; 2π) из первой серии подходит k = 1: x = 11π/6. Из второй подходит k = 0: x = 7π/6. Оба значения проверяются подстановкой: sin 7π/6 = −1/2 и sin 11π/6 = −1/2. Число 2π не входит в этот промежуток из-за круглой скобки справа.
Если a = 1 или a = −1, две записи приводят к одной и той же серии углов. Достаточно написать sin x = 1 → x = π/2 + 2πk и sin x = −1 → x = −π/2 + 2πk. Это один набор корней в каждом случае, а не два разных набора. При a = 0 ещё короче: sin x = 0 → x = πk.
Решите уравнение cos x = a
Для |a| ≤ 1 обозначьте β = arccos a. Арккосинус выбирает угол β из [0; π]. Косинус имеет одинаковое значение при углах β и −β, поэтому все решения можно записать так:
x = β + 2πk или x = −β + 2πk, где k — целое число.
Например, cos x = −√3/2. Основной угол β = 5π/6. Первая серия даёт x = 5π/6 + 2πk, вторая — x = −5π/6 + 2πk. На промежутке [0; 2π) из второй серии нужен k = 1, и получается 7π/6. Ответ: 5π/6 и 7π/6. Эти углы расположены по разные стороны от π; косинус у обоих равен −√3/2.
При a = 1 формула со знаком «плюс или минус» даёт одинаковые корни. Записывайте одну серию: x = 2πk. При a = −1 ответ тоже состоит из одной серии: x = π + 2πk. Для cos x = 0 удобная запись — x = π/2 + πk. Здесь расстояние между соседними корнями равно π, поэтому нет необходимости сохранять две отдельные серии с шагом 2π.
Решите уравнение tg x = a
Обозначьте γ = arctg a. Арктангенс выбирает угол из промежутка (−π/2; π/2). Тангенс повторяет значение через π, поэтому нужна одна серия:
x = γ + πk, где k — целое число.
Так, для tg x = −1 получаем γ = −π/4 и x = −π/4 + πk. На [0; 2π) подходят k = 1 и k = 2: это 3π/4 и 7π/4. Проверка знака здесь полезна: во второй и четвёртой четвертях тангенс отрицателен.
Если tg x = 0, то γ = 0 и x = πk. Не подставляйте в эту серию запрещённые углы π/2 + πk: ни одно целое k не сделает πk равным углу такого вида.
Отберите корни на заданном промежутке
Общая формула — ещё не окончательный ответ, если в условии указаны границы. Для каждой серии подберите только те целые k, при которых x попадает в промежуток. Удобно сначала оценить ближайшие значения k, затем выписать подходящие углы в порядке возрастания и отдельно проверить концы.
Например, нужно решить cos x = 0 на [−π; π). Общая серия: x = π/2 + πk. При k = −1 получаем −π/2, при k = 0 — π/2. Для k = −2 выходит −3π/2, что левее границы; для k = 1 выходит 3π/2, что правее. Ответ: −π/2 и π/2.
Скобки у промежутка имеют значение. На [−π; π] уравнение tg x = 0 имеет три корня: −π, 0 и π. Если правую квадратную скобку заменить круглой, π исчезнет из ответа. При этом −π останется, потому что левая граница включена. Проверяйте границы по написанному условию, а не по привычному рисунку одного оборота.
Если промежуток задан отрицательными углами, не переводите их в положительные без необходимости. Формула с целым k уже охватывает обе стороны числовой прямой. Так проще не забыть корень на левом конце.
Если внутри функции стоит 2x
Сначала решайте уравнение относительно всего аргумента. Для sin 2x = 1/2 подходящие значения аргумента таковы:
2x = π/6 + 2πk или 2x = 5π/6 + 2πk.
Теперь разделите на 2 всю правую часть каждой записи:
x = π/12 + πk или x = 5π/12 + πk.
Период тоже разделился на 2. Ошибка «разделить угол, но оставить 2πk» потеряла бы половину корней. На [0; 2π) в каждой серии подходят k = 0 и k = 1. Ответ: π/12, 5π/12, 13π/12, 17π/12. Подстановка, например, x = 13π/12 даёт 2x = 13π/6 = 2π + π/6, а его синус равен 1/2.
Тот же приём работает, когда аргумент имеет вид 3x или x/2: сначала найдите все значения аргумента, затем преобразуйте каждую серию целиком. Если в аргументе есть ещё и слагаемое, например 2x − π/3, сперва оставьте его как одно выражение, а уже после получения серий изолируйте x.
Потренируйтесь на коротких заданиях
Попробуйте для каждого уравнения сначала назвать общую серию, затем отобрать корни. Во всех заданиях углы указаны в радианах.
- sin x = √2/2, x ∈ [0; 2π).
- cos x = 0, x ∈ [−π; π).
- tg x = √3, x ∈ [0; 2π).
- sin x = 3/2, x ∈ [0; 2π).
- cos 2x = −1, x ∈ [0; 2π).
- tg x = 0, x ∈ [−π; π].
Ответы с проверкой хода решения.
- Для синуса подходят π/4 и 3π/4. Оба лежат внутри заданного промежутка и дают √2/2; добавление 2π увело бы угол за правую границу.
- Из серии x = π/2 + πk получаются −π/2 и π/2. Соседние значения серии уже вне промежутка.
- Так как arctg √3 = π/3, общая серия имеет вид x = π/3 + πk. Подходят π/3 и 4π/3.
- Решений нет: 3/2 больше 1, а синус такого значения не принимает.
- Из cos 2x = −1 следует 2x = π + 2πk, значит x = π/2 + πk. На заданном промежутке это π/2 и 3π/2.
- Из x = πk подходят k = −1, 0 и 1. Ответ: −π, 0 и π; обе границы включены.
Проверьте запись перед сдачей
Посмотрите, указан ли целый индекс у каждой серии общих корней. Затем проверьте период: 2π у синуса и косинуса в стандартных формулах, π у тангенса. Убедитесь, что после преобразования аргумента период изменён вместе с остальной правой частью, а в ответе для промежутка не осталось лишних корней за его границами.
Отдельно проговорите знаки в вычислениях с отрицательным основным углом: «π минус отрицательное π/6 равно 7π/6». Такой способ самопроверки описан в материале «Считает вслух — находит ошибку сам: приём для домашки по математике». Сами формулы общих решений можно сверить со справкой Фоксфорда о простейших тригонометрических уравнениях.