Теорема Виета помогает найти корни квадратного уравнения по двум числам: их сумма связана с коэффициентом при x, а произведение — со свободным членом. Для уравнения x² + bx + c = 0 нужно подобрать числа, сумма которых равна −b, а произведение равно c. Затем подставить оба числа в исходное уравнение и проверить ответ.
Начните с одного уравнения, которое легко проверить устно: x² − 5x + 6 = 0. Нужны числа с суммой 5 и произведением 6. Это 2 и 3. Проверка для первого корня: 2² − 5 · 2 + 6 = 4 − 10 + 6 = 0. Для второго: 3² − 5 · 3 + 6 = 9 − 15 + 6 = 0. Значит, оба подходят.
Сначала определите, какие числа искать
В записи x² + bx + c = 0 коэффициент перед x² равен 1. Это удобный вид для первых упражнений. Если перед x стоит отрицательное число, сумма корней будет положительной: в уравнении x² − 5x + 6 = 0 значение b равно −5, поэтому −b равно 5.
Полезно дать школьнику две короткие подсказки:
- произведение положительное — числа имеют одинаковые знаки;
- произведение отрицательное — знаки у чисел разные.
Сумма помогает выбрать нужный вариант. Например, для x² + 7x + 12 = 0 сумма корней равна −7, а произведение равно 12. Пары множителей числа 12: 1 и 12, 2 и 6, 3 и 4. Чтобы получить отрицательную сумму, оба числа должны быть отрицательными. Подходят −3 и −4: их сумма −7, произведение 12.
Если произведение отрицательное, начните с множителей его модуля. Для x² − x − 12 = 0 нужны сумма 1 и произведение −12. Числа 4 и −3 подходят: 4 + (−3) = 1, а 4 · (−3) = −12.
Пройдите один пример без угадывания
Решим x² + 2x − 15 = 0. В этой задаче сумма корней должна быть −2, произведение — −15. Произведение отрицательное, значит, один корень положительный, другой отрицательный.
Разложим 15 на пары множителей: 1 и 15, 3 и 5. У пары 1 и 15 разница слишком велика: с разными знаками сумма получится 14 или −14. У пары 3 и 5 разница равна 2. Чтобы сумма была −2, число с большим модулем берём отрицательным: 3 и −5.
Проверим обе части условия: 3 + (−5) = −2; 3 · (−5) = −15. Теперь подставим числа в исходное уравнение. Для 3 получаем 3² + 2 · 3 − 15 = 9 + 6 − 15 = 0. Для −5 получаем (−5)² + 2 · (−5) − 15 = 25 − 10 − 15 = 0. Ответ: 3 и −5.
При проверке отрицательного корня скобки важны. Запись (−5)² показывает, что в квадрат возводится всё число и результат равен 25.
Упражнения: от знаков к подбору
Решите уравнения по теореме Виета. Сначала запишите нужную сумму и произведение, затем подберите числа. Ответы с разбором находятся ниже.
- x² − 7x + 10 = 0.
- x² + 9x + 20 = 0.
- x² + x − 6 = 0.
- x² − 4x − 12 = 0.
- x² − 6x + 9 = 0.
- x² − x − 20 = 0.
Удобно оставить рядом с каждым уравнением две строки: «сумма» и «произведение». Так виден ход мысли, а ошибка в знаке обнаруживается до подстановки. Если ребёнок сразу назвал пару чисел, попросите объяснить, почему она подходит по обоим условиям.
Ответы и объяснения
1. x² − 7x + 10 = 0. Сумма равна 7, произведение — 10. Подходят 2 и 5: 2 + 5 = 7, 2 · 5 = 10. Проверка: 2² − 7 · 2 + 10 = 4 − 14 + 10 = 0; 5² − 7 · 5 + 10 = 25 − 35 + 10 = 0.
2. x² + 9x + 20 = 0. Сумма равна −9, произведение — 20. Подходят −4 и −5: −4 + (−5) = −9, а (−4) · (−5) = 20. Проверка: (−4)² + 9 · (−4) + 20 = 16 − 36 + 20 = 0; (−5)² + 9 · (−5) + 20 = 25 − 45 + 20 = 0.
3. x² + x − 6 = 0. Сумма равна −1, произведение — −6. Подходят 2 и −3: 2 + (−3) = −1, 2 · (−3) = −6. Проверка: 2² + 2 − 6 = 0; (−3)² − 3 − 6 = 9 − 3 − 6 = 0.
4. x² − 4x − 12 = 0. Сумма равна 4, произведение — −12. Подходят 6 и −2: 6 + (−2) = 4, 6 · (−2) = −12. Проверка: 6² − 4 · 6 − 12 = 36 − 24 − 12 = 0; (−2)² − 4 · (−2) − 12 = 4 + 8 − 12 = 0.
5. x² − 6x + 9 = 0. Сумма равна 6, произведение — 9. Подходят 3 и 3. Это один корень, который встречается дважды: 3 + 3 = 6, 3 · 3 = 9. Проверка: 3² − 6 · 3 + 9 = 9 − 18 + 9 = 0. В ответе достаточно записать x = 3.
6. x² − x − 20 = 0. Сумма равна 1, произведение — −20. Подходят 5 и −4: 5 + (−4) = 1, 5 · (−4) = −20. Проверка: 5² − 5 − 20 = 0; (−4)² − (−4) − 20 = 16 + 4 − 20 = 0.
Что делать, если перед x² стоит не 1
Для уравнения ax² + bx + c = 0, где a не равно нулю, сумма корней равна −b/a, а произведение равно c/a. Возьмём 2x² − 7x + 3 = 0. Здесь сумма равна 7/2, произведение — 3/2. Числа 3 и 1/2 подходят: 3 + 1/2 = 7/2, а 3 · 1/2 = 3/2.
Проверка обязательна и здесь. Для 3: 2 · 3² − 7 · 3 + 3 = 18 − 21 + 3 = 0. Для 1/2: 2 · (1/2)² − 7 · (1/2) + 3 = 1/2 − 7/2 + 3 = −3 + 3 = 0.
Если дроби пока мешают, полезно сначала уверенно решить несколько уравнений с коэффициентом 1 перед x². Саму формулу при этом менять нельзя: для уравнения с коэффициентом 2 простое правило «сумма равна −b, произведение равно c» уже не подходит.
Как находить собственную ошибку
Чаще всего сбой происходит в одной из трёх точек. Первая — перепутали знак суммы: у x² + 7x + 12 = 0 сумма равна −7, потому что берётся число, противоположное коэффициенту при x. Вторая — нашли верную сумму, но забыли проверить произведение. Третья — при подстановке отрицательного числа потеряли скобки.
Для быстрой проверки попросите ребёнка проговорить полный ответ: «Нашёл числа; их сумма такая-то; произведение такое-то; оба дают ноль после подстановки». Если результат подстановки не ноль, возвращайтесь к арифметике и знакам, а не подбирайте новую пару наугад.
Если целая пара не находится, нельзя сразу делать вывод, что действительных корней нет. Например, у x² − 2 = 0 корни √2 и −√2: их сумма равна нулю, произведение равно −2. Что означает запись √2 и как проверить её возведением в квадрат, разобрано в статье «Квадратный корень: как объяснить ребёнку обратную проверку». Здесь же пары в упражнениях подобраны с целыми корнями, поэтому сначала проверьте свою сумму и произведение.
Частые вопросы
Можно ли остановиться после проверки суммы и произведения?
Для правильно применённой теоремы оба равенства подтверждают пару корней. Но в школьном решении полезно ещё подставить числа в исходное уравнение: так обнаруживаются ошибки при переписывании коэффициентов и вычислениях.
Почему в ответе иногда только одно число?
Корни могут совпасть. У x² − 6x + 9 = 0 пара по Виету — 3 и 3. Поэтому записывают один корень: x = 3.
Как быстрее выбрать знаки корней?
Сначала смотрите на произведение. Если оно отрицательное, знаки разные. Если положительное, знаки одинаковые; затем сумма показывает, оба числа положительные или оба отрицательные.
Нужно ли перебирать все пары множителей?
Нет, если подходящая пара уже найдена и проверена. Если подбор застопорился, выпишите пары множителей свободного члена по порядку: так проще не пропустить нужную.