В задачах на дроби сначала выясните, что принято за целое: вся коробка, весь путь или всё время. Затем отметьте, какую часть этого целого обозначает дробь. Если нужно найти долю от известного количества, разделите количество на знаменатель и умножьте на числитель. Если действий несколько, после каждого подписывайте, что именно получилось.
Ниже — отдельные задачи с решениями. Их удобно разбирать по одной: прочитать условие, попросить школьника назвать целое и лишь затем переходить к вычислениям. Ответ стоит проверять по смыслу: часть не может оказаться больше целого, если речь идёт о взятом из него количестве.
1. Сколько карандашей взяли из коробки
Задача. В коробке 24 цветных карандаша. Для плаката взяли 3/8 всех карандашей. Сколько карандашей взяли?
Решение. Целое здесь — 24 карандаша. Одна восьмая коробки составляет 24 : 8 = 3 карандаша. Три восьмых — это 3 × 3 = 9 карандашей.
Ответ: 9 карандашей.
Проверка. Девять карандашей из 24 — это 9/24. Если разделить числитель и знаменатель на 3, получится 3/8. Значит, найденная часть соответствует условию.
Полезно спросить: «Почему мы сначала делим на 8?» Знаменатель показывает, на сколько равных частей мысленно разделили всё количество. Числитель показывает, сколько таких частей взяли.
2. Какая часть книги осталась
Задача. Лена прочитала 5/12 книги. Какую часть книги ей осталось прочитать?
Решение. Вся книга — это 12/12. Из них прочитано 5/12. Осталось 12/12 − 5/12 = 7/12 книги.
Ответ: 7/12 книги.
Проверка. Прочитанная и оставшаяся части вместе дают целую книгу: 5/12 + 7/12 = 12/12.
В этой задаче число страниц неизвестно и не нужно: спрашивают долю книги, а не количество страниц. Если ребёнок пытается придумать объём книги, предложите ему сначала записать целое в виде дроби со знаменателем 12.
3. Сколько километров осталось пройти
Задача. Длина прогулочного маршрута — 35 км. Туристы прошли 2/5 маршрута. Сколько километров им осталось пройти?
Решение. Сначала найдём пройденное расстояние: 35 : 5 × 2 = 14 км. Затем вычтем его из длины всего маршрута: 35 − 14 = 21 км.
Ответ: 21 км.
Проверка. Пройденные 14 км и оставшийся 21 км составляют 35 км. Кроме того, 14/35 сокращается до 2/5.
Здесь вопрос звучит в километрах, поэтому ответа «3/5 маршрута» недостаточно. Он верно называет оставшуюся долю, но не завершает задачу. Можно пойти и другим путём: после 2/5 остаётся 3/5, а 35 : 5 × 3 = 21 км.
4. Сколько ленты ушло на два подарка
Задача. Было 18 м ленты. На первый подарок потратили 1/3 всей ленты, на второй — 1/6 всей ленты. Сколько метров потратили на оба подарка?
Решение. На первый подарок ушло 18 : 3 = 6 м. На второй — 18 : 6 = 3 м. Вместе потратили 6 + 3 = 9 м.
Ответ: 9 м.
Проверка. Обе доли относятся к исходным 18 м: 1/3 + 1/6 = 2/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2. Половина 18 м — 9 м.
Слова «всей ленты» важны для решения. Они говорят, что обе дроби считаются от одного и того же количества. Если бы на второй подарок пошла 1/6 оставшейся после первого подарка ленты, ход решения был бы другим.
5. Сколько яблок лежало в корзине
Задача. На пирог взяли 3/5 яблок из корзины. Это 12 яблок. Сколько яблок было в корзине сначала?
Решение. Три равные пятые части составляют 12 яблок. Одна пятая часть — 12 : 3 = 4 яблока. Все пять частей — 4 × 5 = 20 яблок.
Ответ: 20 яблок.
Проверка. 3/5 от 20 — это 20 : 5 × 3 = 12.
Эта задача отличается от первой: известно количество в части, а найти требуется целое. Подробно такой ход разобран в статье «Нахождение числа по его части: как решить задачу». Здесь достаточно удержать простой вопрос: «Если три одинаковые части дают 12, сколько даёт одна?»
6. Кто выполнил большую часть работы
Задача. Маша раскрасила 3/4 своего рисунка, а Петя — 5/8 своего. Кто выполнил большую часть своего рисунка?
Решение. Чтобы сравнить доли, приведём их к одному знаменателю: 3/4 = 6/8. Сравниваем 6/8 и 5/8: 6/8 больше.
Ответ: Маша выполнила большую часть своего рисунка.
Проверка. Разница между долями составляет 6/8 − 5/8 = 1/8. Ответ относится именно к доле работы. Сколько раскрашено в квадратных сантиметрах, неизвестно: рисунки могут быть разного размера.
Такое уточнение помогает не смешивать долю и количество. Три четверти большого листа и пять восьмых маленького листа нельзя сравнить по площади, пока размеры листов не названы.
7. Сколько пирога досталось каждому
Задача. На тарелке осталось 3/4 пирога. Эту часть поровну разделили между тремя людьми. Какую часть целого пирога получил каждый?
Решение. Нужно разделить оставшуюся часть на три равные доли: 3/4 : 3 = 3/12 = 1/4 пирога.
Ответ: по 1/4 целого пирога.
Проверка. Три порции по 1/4 составляют 3/4 пирога — ровно столько, сколько лежало на тарелке.
Можно представить пирог разделённым на четыре одинаковых куска. На тарелке лежат три таких куска; каждому достаётся один. Этот образ объясняет вычисление без дополнительных правил деления дробей.
8. Сколько денег осталось после двух покупок
Задача. У Ильи было 600 рублей. На книгу он потратил 1/2 всех денег, а на открытку — 1/5 первоначальной суммы. Сколько рублей у него осталось?
Решение. Книга стоила 600 : 2 = 300 рублей. Открытка стоила 600 : 5 = 120 рублей. Всего потрачено 300 + 120 = 420 рублей. Осталось 600 − 420 = 180 рублей.
Ответ: 180 рублей.
Проверка. 300 + 120 + 180 = 600. Доли покупок тоже согласуются: 1/2 + 1/5 = 5/10 + 2/10 = 7/10. Остались 3/10 суммы, а 3/10 от 600 — 180 рублей.
Фраза «первоначальной суммы» не даёт принять цену открытки за пятую часть денег, оставшихся после покупки книги. В многошаговой задаче полезно подчеркнуть слово, которое указывает, от какого количества считают каждую долю.
9. Сколько страниц прочитали за второй день
Задача. В книге 80 страниц. За первый день Саша прочитал 1/4 книги, за второй — 3/8 книги. На сколько больше страниц он прочитал во второй день?
Решение. В первый день прочитано 80 : 4 = 20 страниц. Во второй — 80 : 8 × 3 = 30 страниц. Разница составляет 30 − 20 = 10 страниц.
Ответ: на 10 страниц больше.
Проверка. 1/4 = 2/8, поэтому разница между долями равна 1/8 книги. Одна восьмая от 80 страниц — 10 страниц.
Если школьник сразу складывает прочитанные страницы, верните его к вопросу. Слово «на сколько» просит найти разницу; общее число страниц за два дня здесь лишь промежуточный результат, если его вообще вычислять.
10. Упражнения для самостоятельной проверки
Попробуйте сначала решить задачи без подсказок. В каждой назовите целое и подпишите единицу измерения в ответе.
А. В наборе 36 наклеек. 5/9 набора — наклейки с животными. Сколько таких наклеек? Б. В баке было 40 л воды. Израсходовали 3/8 всей воды. Сколько литров осталось? В. Для поделки использовали 2/7 всех бусин, или 8 бусин. Сколько бусин было сначала? Г. От рулона ткани длиной 24 м отрезали 1/4 рулона, затем ещё 1/3 первоначального рулона. Сколько метров ткани осталось?
Ответы с короткой проверкой.
- А — 20 наклеек. 36 : 9 × 5 = 20; 20/36 сокращается до 5/9.
- Б — 25 л. Израсходовали 40 : 8 × 3 = 15 л; 40 − 15 = 25 л.
- В — 28 бусин. Одна седьмая — 8 : 2 = 4 бусины; семь седьмых — 4 × 7 = 28.
- Г — 10 м. Отрезали 24 : 4 = 6 м и 24 : 3 = 8 м; осталось 24 − 6 − 8 = 10 м.
Если результат не совпал с ответом, сначала сравните, что вы нашли: долю целого или количество предметов. Например, в третьей задаче 3/5 — оставшаяся часть маршрута, а 21 км — нужное расстояние. Обе записи связаны, но отвечают на разные вопросы.
Частые вопросы
Как понять, что в задаче принято за целое?
Найдите предмет или количество, к которому относится слово «всех»: все карандаши, вся лента, весь путь. Если такого слова нет, перескажите условие своими словами: «Три восьмых чего именно?» Ответ и будет целым для этой дроби.
Можно ли решить задачу другим способом?
Да. Например, в задаче о маршруте можно сначала найти пройденные 2/5 и вычесть их из 35 км, а можно найти оставшиеся 3/5 от 35 км. Оба способа дают 21 км. Главное — сохранять одно и то же целое.
Что делать, если получился ответ больше исходного количества?
Проверьте действие и смысл вопроса. При поиске части от известного целого дробь меньше единицы даёт результат меньше целого. Ответ больше исходного количества уместен в другой ситуации: когда известна часть, а ищут всё количество.
Нужно ли сокращать дробь в ответе?
Если ответ — доля, её обычно удобно записать в сокращённом виде: 3/12 = 1/4. Если спрашивают штуки, метры или рубли, запишите число с нужной единицей измерения. Сокращение промежуточной дроби не должно заменять ответ на вопрос задачи.