В базовом уравнении √f(x) = g(x) сначала проверьте два условия: выражение f(x) под корнем должно быть неотрицательным, а правая часть g(x) тоже не может быть отрицательной. Затем возведите обе части в квадрат, решите полученное уравнение и подставьте каждый найденный x в исходную запись.
Проверка нужна потому, что после возведения в квадрат может появиться лишний корень. Например, числа 2 и −2 имеют одинаковый квадрат, но квадратный корень из 4 равен 2, а не −2. Поэтому ответы уравнения после возведения в квадрат пока остаются кандидатами.
Почему знак справа так важен
Знак √ обозначает неотрицательное значение. Так, √9 = 3. Запись √9 = −3 неверна, хотя (−3)² тоже равно 9. Это различие определяет порядок решения: если справа отрицательное число, равенство с квадратным корнем невозможно.
Уравнение √(x − 4) = −2 не имеет действительных решений. Даже если возвести обе части в квадрат и получить x − 4 = 4, а затем x = 8, подстановка выявит ошибку: √(8 − 4) = 2, а справа стоит −2. Нельзя оставлять 8 в ответе только потому, что он подходит уравнению после квадрата.
Когда справа стоит выражение с x, его знак зависит от x. В √(2x + 5) = x + 1 нужно учитывать x + 1 ≥ 0, то есть x ≥ −1. Подкоренное выражение также должно удовлетворять 2x + 5 ≥ 0. Если удобно, выпишите оба ограничения перед вычислениями: тогда при отборе кандидатов не придётся восстанавливать их по памяти.
Разбор уравнения с посторонним корнем
Решим √(2x + 5) = x + 1. Начальные условия: 2x + 5 ≥ 0 и x + 1 ≥ 0. Вместе они дают x ≥ −1, поскольку при таком x выражение 2x + 5 уже положительно.
Возводим обе части в квадрат: 2x + 5 = (x + 1)². Раскрываем скобки: 2x + 5 = x² + 2x + 1. После вычитания 2x и 5 получаем x² − 4 = 0. Кандидаты: x = −2 и x = 2.
Значение −2 нарушает условие x ≥ −1. Подстановка показывает то же самое ещё нагляднее: слева √(2 · (−2) + 5) = √1 = 1, справа −2 + 1 = −1. Получилось 1 ≠ −1.
При x = 2 левая часть равна √9 = 3, правая — 2 + 1 = 3. Значит, ответ: x = 2. В записи решения хорошо отделять кандидатов от окончательного ответа: так видно, на каком этапе исчез −2.
Когда квадрат даёт единственного кандидата
В уравнении √(3x + 7) = 5 правая часть уже положительна. Под корнем требуется 3x + 7 ≥ 0. После возведения в квадрат получаем 3x + 7 = 25, затем 3x = 18 и x = 6.
Проверяем первоначальное равенство: √(3 · 6 + 7) = √25 = 5. Ответ: 6. Проверка здесь короткая, но пропускать её не стоит: она подтверждает, что не было ошибки при переносе числа или вычислении квадрата.
Теперь рассмотрим √(x + 10) = x + 4. Условия: x + 10 ≥ 0 и x + 4 ≥ 0. Вместе они дают x ≥ −4.
После возведения в квадрат: x + 10 = (x + 4)² = x² + 8x + 16. Переносим всё вправо: x² + 7x + 6 = 0. Разложение даёт (x + 1)(x + 6) = 0, поэтому кандидаты −1 и −6.
Число −6 меньше −4 и делает правую часть отрицательной. При x = −1 проверка проходит: √(−1 + 10) = √9 = 3, а −1 + 4 = 3. Ответ: −1. Так ограничение справа помогает быстро отсеять кандидата, но окончательную подстановку всё равно удобно показать.
Что делать, если корни стоят по обе стороны
Решим √(5x + 1) = √(x + 9). Обе части определены, когда 5x + 1 ≥ 0 и x + 9 ≥ 0. Иными словами, x ≥ −1/5.
Обе части неотрицательны, поэтому их квадраты равны при тех же допустимых x: 5x + 1 = x + 9. Отсюда 4x = 8 и x = 2. Проверка: слева √11, справа тоже √11. Ответ: 2.
Здесь легко получить линейное уравнение и забыть про допустимость самих корней. В данном примере 2 подходит. Если бы найденное число делало хотя бы одно подкоренное выражение отрицательным, исходное равенство при действительных числах не имело бы смысла.
При корнях с двух сторон полезно сначала записать условия для обоих подкоренных выражений. Это занимает одну строку, зато не позволяет принять результат преобразования там, где один из корней вообще не определён.
Как аккуратно возводить выражение в квадрат
Возводится в квадрат вся правая часть. Если справа x + 4, то (x + 4)² = x² + 8x + 16. Запись x² + 16 пропускает среднее слагаемое и меняет уравнение. Перед следующим шагом можно быстро проверить раскрытие скобок умножением: (x + 4)(x + 4) = x² + 4x + 4x + 16.
Не заменяйте √(a + b) на √a + √b. Например, √(9 + 16) = 5, а √9 + √16 = 7. В базовых задачах лучше оставить всё выражение под одним корнем, изолировать этот корень, а затем возводить обе части уравнения в квадрат.
Если после квадрата выходит квадратное уравнение, решайте его полностью. Для √(x + 10) = x + 4 получились два кандидата, хотя исходному равенству подошёл один. Когда после замены переменной возникает более сложный квадратный шаг, используйте порядок обратного перехода из статьи про уравнения, сводящиеся к квадратным: замену переменной и проверку. Финальная подстановка всё равно относится к исходному уравнению с корнем.
Проверка ответа без догадок
Подставляйте каждое число вместо x в обе части первоначальной записи и вычисляйте их отдельно. Для √(2x + 5) = x + 1 при x = −2 это «слева 1, справа −1», а не просто пометка «не подходит». Так сразу видна причина отказа: после квадрата разные по знаку числа стали одинаковыми.
Если кандидат нарушает условие существования корня, его можно вычеркнуть до вычисления обеих частей. Но в итоговой записи назовите причину: например, при x = −5 выражение x + 3 под корнем отрицательно. Если подкоренное выражение допустимо, проверьте ещё и знак правой части, а затем само равенство.
Решение найденного после квадрата уравнения даёт полный список кандидатов, если квадрат был выполнен верно и ранее не было шагов, теряющих значения x. Подстановка отбирает из этого списка подходящие. Она не исправит деление на выражение, которое могло равняться нулю: такой случай надо разбирать отдельно в момент деления.
Упражнения
Для каждого уравнения запишите ограничения, найдите кандидатов после возведения в квадрат и проверьте окончательный ответ в первоначальной записи.
1. √(x + 5) = 3.
2. √(2x + 1) = x − 1.
3. √(x + 6) = x.
4. √(4x − 3) = −1.
5. √(x + 8) = √(3x).
6. √(x + 2) = x − 2.
Ключ с полным разбором
1. Нужно x + 5 ≥ 0. Правая часть положительна. После квадрата x + 5 = 9, откуда x = 4. Проверка: √(4 + 5) = √9 = 3. Ответ: 4.
2. Требуются 2x + 1 ≥ 0 и x − 1 ≥ 0; вместе x ≥ 1. После квадрата 2x + 1 = (x − 1)² = x² − 2x + 1. Получаем x² − 4x = 0, или x(x − 4) = 0. Кандидаты 0 и 4. Число 0 нарушает x ≥ 1. При x = 4: √(2 · 4 + 1) = 3 и 4 − 1 = 3. Ответ: 4.
3. Условия x + 6 ≥ 0 и x ≥ 0 дают x ≥ 0. После квадрата x + 6 = x², то есть x² − x − 6 = 0. Разложение (x − 3)(x + 2) = 0 даёт кандидаты 3 и −2. Отбрасываем −2 из-за отрицательной правой части. Проверяем 3: √(3 + 6) = 3. Ответ: 3.
4. Правая часть равна −1, а квадратный корень неотрицателен. Действительных решений нет. Числа, которые могли бы получиться после квадрата, здесь искать не нужно.
5. Оба корня должны существовать: x + 8 ≥ 0 и 3x ≥ 0. Вместе x ≥ 0. После квадрата x + 8 = 3x, откуда x = 4. Проверка: √(4 + 8) = √12 и √(3 · 4) = √12. Ответ: 4.
6. Условия x + 2 ≥ 0 и x − 2 ≥ 0 дают x ≥ 2. После квадрата x + 2 = (x − 2)² = x² − 4x + 4. Значит, x² − 5x + 2 = 0. По формуле корней получаем x = (5 − √17)/2 и x = (5 + √17)/2. Первый кандидат меньше 2, потому что √17 > 1, поэтому он не подходит. Второй больше 2; при нём обе части исходного уравнения неотрицательны, а их квадраты равны. Ответ: (5 + √17)/2.