Чтобы найти математическое ожидание по заданным вероятностям, умножьте каждое значение случайной величины на его вероятность и сложите результаты. Ниже — два разбора и шесть задач для самостоятельной работы.
Математическое ожидание не обязательно совпадает с одним из возможных исходов. Например, в задаче 3 величина может принять только значения 1 и 3, а её математическое ожидание равно 2.
Как записать вычисление
Для конечного числа исходов используйте формулу E = Σxᵢpᵢ. Здесь E — математическое ожидание, xᵢ — очередное значение случайной величины, pᵢ — соответствующая ему вероятность, а знак Σ означает сумму таких произведений. Вероятности неотрицательны, а их сумма равна 1; об этом правиле можно прочитать в учебнике OpenStax.
Работайте по порядку:
- Соедините каждое значение с вероятностью, стоящей на том же месте в условии.
- Проверьте, что вероятности в сумме дают 1.
- Найдите произведение для каждой пары и сложите их.
- Сверьте арифметику и запишите ответ.
Разбор 1: три значения
Условие. Случайная величина принимает значения 2, 5 и 8 с соответствующими вероятностями 1/4, 1/2 и 1/4. Найдите математическое ожидание.
Сначала проверим вероятности: 1/4 + 1/2 + 1/4 = 1. Теперь умножим каждое значение на соответствующую вероятность:
E = 2 × 1/4 + 5 × 1/2 + 8 × 1/4 E = 1/2 + 5/2 + 2 = 5.
Ответ: 5. Хотя значение 5 есть среди исходов, оно не гарантировано в отдельном опыте.
Разбор 2: значение ноль
Условие. Случайная величина принимает значения 0, 2 и 6 с соответствующими вероятностями 1/2, 1/4 и 1/4. Найдите математическое ожидание.
Проверка: 1/2 + 1/4 + 1/4 = 1. В вычислении оставим и пару с нулём, чтобы не потерять соответствие:
E = 0 × 1/2 + 2 × 1/4 + 6 × 1/4 E = 0 + 1/2 + 3/2 = 2.
Ответ: 2. Нулевой исход не увеличивает сумму произведений, но его вероятность входит в проверку общей суммы вероятностей.
Шесть задач для самостоятельного решения
В каждом пункте значения и вероятности перечислены в соответствующем порядке. Найдите математическое ожидание, а затем сравните вычисления с ключом.
3. Случайная величина принимает значения 1 и 3 с соответствующими вероятностями 1/2 и 1/2. Найдите математическое ожидание.
4. Случайная величина принимает значения 0, 4 и 10 с соответствующими вероятностями 1/5, 3/5 и 1/5. Найдите математическое ожидание.
5. Случайная величина принимает значения 2 и 6 с соответствующими вероятностями 3/4 и 1/4. Найдите математическое ожидание.
6. Случайная величина принимает значения 1, 4 и 7 с соответствующими вероятностями 1/3, 1/3 и 1/3. Найдите математическое ожидание.
7. Случайная величина принимает значения 0 и 5 с соответствующими вероятностями 2/5 и 3/5. Найдите математическое ожидание.
8. Случайная величина принимает значения 3 и 9 с соответствующими вероятностями 1/6 и 5/6. Найдите математическое ожидание.
Ключ с вычислениями
3. Вероятности: 1/2 + 1/2 = 1. E = 1 × 1/2 + 3 × 1/2 = 1/2 + 3/2 = 2.
4. Вероятности: 1/5 + 3/5 + 1/5 = 1. E = 0 × 1/5 + 4 × 3/5 + 10 × 1/5 = 0 + 12/5 + 10/5 = 22/5.
5. Вероятности: 3/4 + 1/4 = 1. E = 2 × 3/4 + 6 × 1/4 = 6/4 + 6/4 = 3.
6. Вероятности: 1/3 + 1/3 + 1/3 = 1. E = 1 × 1/3 + 4 × 1/3 + 7 × 1/3 = 12/3 = 4.
7. Вероятности: 2/5 + 3/5 = 1. E = 0 × 2/5 + 5 × 3/5 = 0 + 15/5 = 3.
8. Вероятности: 1/6 + 5/6 = 1. E = 3 × 1/6 + 9 × 5/6 = 3/6 + 45/6 = 8.
Где проверить ошибку
Частая ошибка — сложить значения и разделить их количество, не учитывая вероятности. В задаче 5 это дало бы 4 вместо 3: значение 2 имеет большую вероятность, чем значение 6. Вернитесь к условию и проверьте пары «значение — вероятность», прежде чем пересчитывать сумму.
Если сложно выделить данные и вопрос в условии, поможет статья «Ребёнок не понимает условие задачи: как помочь разобраться».