Медиана показывает середину упорядоченного набора, а мода — значение с наибольшей частотой. Чтобы найти обе характеристики, расположите числа по возрастанию, определите центральное значение и подсчитайте, сколько раз встречается каждое число.
Если значений чётное количество, у набора две центральные позиции: медиана равна среднему этих двух чисел. Мод может быть несколько, если несколько значений встречаются одинаково часто и чаще остальных. Эти правила описаны в учебных материалах OpenStax.
Как работать с набором
Сначала перепишите все значения по возрастанию, не пропуская повторения. Повторяющиеся числа занимают отдельные места: это важно и для поиска середины, и для подсчёта частоты.
Затем посчитайте количество значений. При нечётном количестве найдите число, слева и справа от которого остаётся поровну значений. При чётном — возьмите два числа посередине, сложите их и разделите сумму на два. Это среднее только двух центральных значений, а не всего набора.
Для моды подсчитайте повторения. Частота — это количество появлений значения в наборе. Если наибольшую частоту имеют два разных числа, запишите оба. Единицы измерения в условиях ниже не заданы: ответы тоже записываем просто числами.
Пример 1. Одна центральная позиция
Найдите медиану и все моды набора: 2, 4, 4, 7, 9.
Числа уже расположены по возрастанию. Всего их пять; центральное значение стоит на третьем месте. Слева от него два числа и справа тоже два, значит, медиана равна 4.
Число 4 встречается два раза, остальные — по одному. Наибольшая частота равна двум, поэтому единственная мода — 4.
Ответ: медиана 4; мода 4. То, что результаты совпали, не отменяет двух разных проверок: для медианы важна позиция, для моды — частота.
Пример 2. Две середины и две моды
Найдите медиану и все моды набора: 1, 3, 3, 5, 5, 8.
В наборе шесть значений. Два центральных стоят на третьем и четвёртом местах: это 3 и 5. Их среднее равно (3 + 5) / 2 = 4, значит, медиана — 4.
Числа 3 и 5 встречаются по два раза, а 1 и 8 — по одному. Оба значения с наибольшей частотой нужно включить в ответ.
Ответ: медиана 4; моды 3 и 5. Медианы 4 нет среди исходных значений, но для чётного набора это возможно: она получена из двух центральных чисел.
Задачи для самостоятельной работы
В каждом пункте найдите медиану и все моды. Запишите сначала количество значений и центральную позицию или две позиции, затем отметьте наибольшую частоту.
- Найдите медиану и все моды набора: 6, 6, 7, 9, 12.
- Найдите медиану и все моды набора: 2, 2, 4, 6, 8, 10.
- Найдите медиану и все моды набора: 3, 5, 5, 7, 7, 9, 11.
- Найдите медиану и все моды набора: 1, 1, 2, 4, 6, 8.
- Найдите медиану и все моды набора: 4, 6, 6, 8, 10.
- Найдите медиану и все моды набора: 2, 4, 4, 6, 6, 8, 10, 12.
Наборы уже упорядочены, поэтому переписывать их необязательно. Однако повторяющиеся значения всё равно считайте отдельно при определении центральных позиций. Для моды, наоборот, удобно объединить одинаковые значения и посчитать их появления.
Ответы и проверки
- Медиана 7; мода 6. Всего пять значений, третье — 7. Шестёрка встречается дважды, остальные числа — по одному разу.
- Медиана 5; мода 2. Центральные значения — 4 и 6; их среднее равно 5. Двойка встречается дважды.
- Медиана 7; моды 5 и 7. Из семи значений центральное — четвёртое. И 5, и 7 встречаются по два раза.
- Медиана 3; мода 1. Центральные значения — 2 и 4; их среднее равно 3. Единица встречается дважды.
- Медиана 6; мода 6. Из пяти значений центральное — третье. Шестёрка встречается два раза.
- Медиана 6; моды 4 и 6. Центральные значения — 6 и 6, их среднее равно 6. Четвёрка и шестёрка встречаются по два раза.
Как проверить запись ответа
Сверьте количество позиций с исходным набором: потерянное повторение может сдвинуть середину. Если значений чётное количество, убедитесь, что взяли именно два соседних центральных числа, а не крайние значения набора.
Для моды проверьте все разные числа, а не останавливайтесь на первом повторении. В третьей и шестой задачах второй ответ для моды столь же важен, как первый. Не записывайте частоту вместо самой моды: частота сообщает, сколько раз встретилось число, а мода называет это число.
Если ребёнку трудно выделить, что требуется найти и какие данные для этого нужны, поможет статья «Ребёнок не понимает условие задачи: как помочь разобраться».