В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Чтобы найти гипотенузу, сложите квадраты катетов и извлеките положительный корень; чтобы найти катет, вычтите квадрат известного катета из квадрата гипотенузы.
Практикум состоит из четырёх разобранных примеров и восьми самостоятельных задач. Во второй части по трём сторонам нужно определить, является ли треугольник прямоугольным.
Как выбрать сторону для вычисления
Обозначим катеты через a и b, а гипотенузу через c. Гипотенуза лежит напротив прямого угла и является наибольшей стороной прямоугольного треугольника. По теореме Пифагора:
c² = a² + b².
Если неизвестен катет, из этого равенства получаем b² = c² − a². Длина стороны положительна, поэтому из найденного квадрата берём положительный корень. Например, если b² = 225 см², то b = 15 см.
Когда в условии только сказано, что существует треугольник с тремя заданными сторонами, сначала выбирают наибольшую сторону. Называть её гипотенузой до проверки нельзя: прямой угол ещё не установлен. По обратной теореме, если квадрат наибольшей стороны равен сумме квадратов двух других, треугольник прямоугольный. Если равенства нет, он не прямоугольный.
При вычислениях различайте длину и её квадрат: если сторона измеряется в сантиметрах, её квадрат записывают в квадратных сантиметрах. После извлечения корня ответ снова выражается в сантиметрах.
Четыре примера: вычислить гипотенузу
Во всех примерах прямой угол задан условием, а известные стороны названы катетами. Значит, неизвестная гипотенуза — наибольшая сторона.
Пример 1. Катеты 7 см и 24 см
В прямоугольном треугольнике катеты 7 см и 24 см. Найдите гипотенузу.
Пусть её длина равна c. Тогда c² = 7² + 24² = 49 + 576 = 625. Положительный корень из 625 равен 25.
Ответ: 25 см.
Пример 2. Катеты 9 см и 40 см
В прямоугольном треугольнике катеты 9 см и 40 см. Найдите гипотенузу.
Получаем c² = 9² + 40² = 81 + 1600 = 1681. Поскольку 41² = 1681, длина гипотенузы равна 41 см.
Ответ: 41 см.
Пример 3. Катеты 20 см и 21 см
В прямоугольном треугольнике катеты 20 см и 21 см. Найдите гипотенузу.
Складываем квадраты: c² = 20² + 21² = 400 + 441 = 841. Положительный корень: c = 29 см.
Ответ: 29 см.
Пример 4. Катеты 12 см и 35 см
В прямоугольном треугольнике катеты 12 см и 35 см. Найдите гипотенузу.
Подставляем длины: c² = 12² + 35² = 144 + 1225 = 1369. Так как 37² = 1369, гипотенуза равна 37 см.
Ответ: 37 см.
Во всех четырёх ответах гипотенуза больше каждого катета. Это полезная проверка выбора корня и арифметики, хотя одного сравнения длин для полной проверки вычислений недостаточно.
Четыре задачи: вычислить неизвестный катет
Гипотенуза и один катет уже названы в условиях. Обозначьте второй катет через b и составьте равенство b² = c² − a². Ответ дайте в сантиметрах.
- В прямоугольном треугольнике гипотенуза 17 см, один катет 8 см. Найдите второй катет.
- В прямоугольном треугольнике гипотенуза 39 см, один катет 15 см. Найдите второй катет.
- В прямоугольном треугольнике гипотенуза 34 см, один катет 16 см. Найдите второй катет.
- В прямоугольном треугольнике гипотенуза 26 см, один катет 10 см. Найдите второй катет.
Не складывайте квадраты в этих задачах: сумма дала бы квадрат гипотенузы, которая уже известна. После вычитания не останавливайтесь на b²: требуется длина b.
Четыре задачи: проверить прямой угол по сторонам
В каждом условии задан существующий треугольник. Найдите его наибольшую сторону и сравните её квадрат с суммой квадратов двух остальных сторон.
- Треугольник имеет стороны 6, 8, 10 см. Является ли он прямоугольным?
- Треугольник имеет стороны 5, 7, 9 см. Является ли он прямоугольным?
- Треугольник имеет стороны 9, 12, 15 см. Является ли он прямоугольным?
- Треугольник имеет стороны 8, 10, 13 см. Является ли он прямоугольным?
Для ответа недостаточно сравнить сами длины или увидеть, что одна из них заметно больше других. Сравнивать нужно именно два числа: квадрат наибольшей стороны и сумму квадратов остальных.
Ответы и вычисления для восьми задач
1. b² = 17² − 8² = 289 − 64 = 225; b = 15. Проверка: 8² + 15² = 289 = 17². Ответ: 15 см.
2. b² = 39² − 15² = 1521 − 225 = 1296; b = 36. Проверка: 15² + 36² = 1521 = 39². Ответ: 36 см.
3. b² = 34² − 16² = 1156 − 256 = 900; b = 30. Проверка: 16² + 30² = 1156 = 34². Ответ: 30 см.
4. b² = 26² − 10² = 676 − 100 = 576; b = 24. Проверка: 10² + 24² = 676 = 26². Ответ: 24 см.
5. Наибольшая сторона — 10 см. 6² + 8² = 36 + 64 = 100; 10² = 100. Равенство выполняется. Ответ: да.
6. Наибольшая сторона — 9 см. 5² + 7² = 25 + 49 = 74; 9² = 81. Равенства нет. Ответ: нет.
7. Наибольшая сторона — 15 см. 9² + 12² = 81 + 144 = 225; 15² = 225. Равенство выполняется. Ответ: да.
8. Наибольшая сторона — 13 см. 8² + 10² = 64 + 100 = 164; 13² = 169. Равенства нет. Ответ: нет.
Как исправить ошибку со стороной или корнем
Если при поиске катета ответ оказался больше гипотенузы, проверьте знак между квадратами: нужно вычитать квадрат известного катета, а не складывать. Затем проверьте извлечение корня возведением найденной длины в квадрат.
При проверке треугольника ошибка возможна ещё до вычислений: за основу сравнения выбрана не самая длинная сторона. Вернитесь к трём числам и выделите наибольшее, а затем заново составьте равенство. Если суммы отличаются хотя бы на единицу, как в задаче 8, равенство не выполняется.
Для более широкого повторения свойств и доказательств можно обратиться к статье «Подготовка к ОГЭ по геометрии: чертежи, свойства и доказательства».