Чтобы решить задачу на смежные углы, используйте их сумму: она равна 180°. Если известен один угол, вычтите его из 180°. Если известна разница или отношение, обозначьте меньший угол через x и составьте уравнение.
Ниже — четыре разобранных примера и восемь задач для самостоятельной работы. В каждом условии прямо сказано, что углы смежные: одной только суммы 180° недостаточно, чтобы установить смежность.
Что важно помнить перед решением
У смежных углов одна сторона общая, а две другие стороны — противоположные лучи. Сумма таких углов равна 180°. Это свойство позволяет вычислить неизвестный угол, если смежность уже известна из условия. Подробнее о понятии можно прочитать в материале о смежных углах.
Обозначим градусные меры углов буквами α и β. Тогда для смежных углов α + β = 180°. Буквы обозначают числа в градусах: например, если α = 47°, то для β остаётся 180° − 47°.
При записи ответа указывайте знак градуса у каждого найденного угла. Если нужно найти два угла, недостаточно записать только меньший: второй тоже следует вычислить. Затем проверьте два условия — сумму и указанную в задаче разницу или отношение.
Четыре примера: известен один угол
Пример 1. Угол 47°
Условие. Два угла смежные. Первый равен 47°. Найдите второй.
Из суммы смежных углов вычитаем известный:
180° − 47° = 133°.
Проверка: 47° + 133° = 180°.
Ответ: 133°.
Здесь известный угол меньше 90°, а найденный больше 90°. Это не отдельное условие задачи: сравнение помогает заметить, что из 180° вычли именно 47°, а не другое число.
Пример 2. Угол 63°
Условие. Два угла смежные. Первый равен 63°. Найдите второй.
Обозначим неизвестную величину через β. По условию углы смежные, значит:
63° + β = 180°;
β = 180° − 63° = 117°.
Проверка: 63° + 117° = 180°.
Ответ: 117°.
Уравнение и вычитание дают один результат. При записи через β важно в конце заменить букву найденной величиной, а не оставлять ответ в виде выражения.
Пример 3. Угол 108°
Условие. Два угла смежные. Первый равен 108°. Найдите второй.
Второй угол равен разности суммы и известного угла:
180° − 108° = 72°.
Проверка: 108° + 72° = 180°.
Ответ: 72°.
Не вычитайте 108° из 90°: в задаче дана сумма 180°. Известный угол уже больше 90°, поэтому второй в этом примере получается меньше 90°.
Пример 4. Угол 132°
Условие. Два угла смежные. Первый равен 132°. Найдите второй.
Вычисляем:
180° − 132° = 48°.
Проверка: 132° + 48° = 180°.
Ответ: 48°.
При вычитании можно отдельно проверить сложение: если к 132° прибавить 48°, получится 180°. Такая проверка обнаружит ошибку в вычислении, но сама по себе не установит смежность: она дана в условии.
Как составить уравнение по разнице
Когда сказано, что один угол на несколько градусов больше другого, удобно принять меньший угол за x. Тогда больший записывается как x + d, где d — указанная разница в градусах. Складываем выражения и приравниваем сумму к 180°:
x + (x + d) = 180.
Здесь x и d обозначают числовые значения в градусах. После нахождения x нужно прибавить d, чтобы получить второй угол. В проверке вычтите меньший результат из большего: разность должна совпасть с условием.
Не путайте разницу с большим углом. Например, если в условии сказано «на 22° больше», число 22 обозначает прибавку к меньшему углу, а не величину одного из углов.
Как записать отношение
Если один угол в k раз больше другого, обозначьте меньший через x, а больший — через kx. Тогда:
x + kx = 180.
Сначала найдите x, затем умножьте его на k. Проверка состоит из сложения углов и деления большего на меньший. Частая ошибка — записать x + k: это означало бы увеличение на k градусов, а не увеличение в k раз.
В следующих задачах выберите запись по словам условия: «на … больше» подсказывает сложение, «в … раз больше» — умножение.
Задачи для самостоятельного решения
В задачах 1–4 найдите оба угла по их разнице.
- Один из двух смежных углов на 22° больше другого. Найдите оба.
- Один из двух смежных углов на 46° больше другого. Найдите оба.
- Один из двух смежных углов на 64° больше другого. Найдите оба.
- Один из двух смежных углов на 86° больше другого. Найдите оба.
В задачах 5–8 найдите оба угла по отношению.
- Один смежный угол в 2 раза больше другого. Найдите оба.
- Один смежный угол в 3 раза больше другого. Найдите оба.
- Один смежный угол в 5 раз больше другого. Найдите оба.
- Один смежный угол в 8 раз больше другого. Найдите оба.
Ответы и вычисления
В каждом решении x — градусная мера меньшего угла. После вычисления приведена проверка обоих условий.
1. 79° и 101°. x + (x + 22) = 180; 2x = 158; x = 79. Второй угол: 79° + 22° = 101°. Проверка: 79° + 101° = 180°, 101° − 79° = 22°.
2. 67° и 113°. x + (x + 46) = 180; 2x = 134; x = 67. Второй угол: 67° + 46° = 113°. Проверка: 67° + 113° = 180°, 113° − 67° = 46°.
3. 58° и 122°. x + (x + 64) = 180; 2x = 116; x = 58. Второй угол: 58° + 64° = 122°. Проверка: 58° + 122° = 180°, 122° − 58° = 64°.
4. 47° и 133°. x + (x + 86) = 180; 2x = 94; x = 47. Второй угол: 47° + 86° = 133°. Проверка: 47° + 133° = 180°, 133° − 47° = 86°.
5. 60° и 120°. x + 2x = 180; 3x = 180; x = 60. Второй угол: 2 · 60° = 120°. Проверка: 60° + 120° = 180°, 120 : 60 = 2.
6. 45° и 135°. x + 3x = 180; 4x = 180; x = 45. Второй угол: 3 · 45° = 135°. Проверка: 45° + 135° = 180°, 135 : 45 = 3.
7. 30° и 150°. x + 5x = 180; 6x = 180; x = 30. Второй угол: 5 · 30° = 150°. Проверка: 30° + 150° = 180°, 150 : 30 = 5.
8. 20° и 160°. x + 8x = 180; 9x = 180; x = 20. Второй угол: 8 · 20° = 160°. Проверка: 20° + 160° = 180°, 160 : 20 = 8.
Для дальнейшей работы с геометрическими заданиями пригодится материал о подготовке к ОГЭ по геометрии: чертежах, свойствах и доказательствах.