Площадь ромба можно найти по длинам его диагоналей: перемножить их и разделить результат на два. Если известны площадь и одна диагональ, вторую находят обратным действием.
Ниже — четыре разобранных примера на площадь и восемь самостоятельных задач: на неизвестную диагональ и периметр. Во всех условиях длины диагоналей указаны целиком, а не их половины.
Какие величины подставлять в формулы
Обозначим площадь ромба через S, длины диагоналей через d₁ и d₂, сторону через a, а периметр через P. Для ромба используют формулу площади S = d₁ · d₂ / 2. Все четыре стороны ромба равны, поэтому P = 4a. Эти свойства приведены в материале о ромбе.
Для неизвестной второй диагонали из формулы площади получаем d₂ = 2S / d₁. Сначала удвойте площадь, затем разделите её на длину известной диагонали. Номер диагонали в обозначении условен: любую из двух можно назвать первой, если ясно записать, какая известна.
Площадь в этих задачах выражается в квадратных сантиметрах, а сторона, диагональ и периметр — в сантиметрах. Разницу между этими величинами помогает разобрать статья «Периметр и площадь: как объяснить ребёнку разницу».
Перед вычислением проверьте, что оба числа в формуле площади обозначают именно диагонали. Сторону вместо диагонали подставлять нельзя: для периметра используется отдельная формула.
Четыре примера: площадь по двум диагоналям
Пример 1. Диагонали 10 см и 14 см
Диагонали ромба 10 см и 14 см. Найдите площадь.
Подставляем полные длины в формулу: S = 10 · 14 / 2 = 140 / 2 = 70 см².
Ответ: 70 см².
Пример 2. Диагонали 12 см и 18 см
Диагонали ромба 12 см и 18 см. Найдите площадь.
Произведение диагоналей равно 12 · 18 = 216. Делим его на два: S = 216 / 2 = 108 см².
Ответ: 108 см².
Пример 3. Диагонали 8 см и 22 см
Диагонали ромба 8 см и 22 см. Найдите площадь.
Вычисляем S = 8 · 22 / 2 = 176 / 2 = 88 см².
Ответ: 88 см².
Пример 4. Диагонали 16 см и 24 см
Диагонали ромба 16 см и 24 см. Найдите площадь.
Получаем S = 16 · 24 / 2 = 384 / 2 = 192 см².
Ответ: 192 см².
Деление на два входит в формулу один раз. Если сначала разделить одну из диагоналей пополам, а затем ещё и произведение разделить на два, ответ окажется вдвое меньше нужного.
Четыре задачи: найти вторую диагональ
В каждой задаче известны площадь и одна полная диагональ. Найдите длину второй диагонали в сантиметрах.
- Площадь ромба 60 см², одна диагональ 6 см. Найдите вторую.
- Площадь ромба 182 см², одна диагональ 14 см. Найдите вторую.
- Площадь ромба 216 см², одна диагональ 18 см. Найдите вторую.
- Площадь ромба 140 см², одна диагональ 10 см. Найдите вторую.
Можно сначала записать S = d₁ · d₂ / 2 с числами из условия. Затем умножить обе части равенства на два и разделить на известную длину. Чтобы проверить результат, подставьте обе диагонали обратно в формулу площади: должна получиться площадь из условия.
Четыре задачи: найти периметр по стороне
Все четыре стороны ромба имеют одинаковую длину. В каждой задаче найдите сумму этих сторон и запишите ответ в сантиметрах.
- Сторона ромба 7 см. Найдите периметр.
- Сторона ромба 9 см. Найдите периметр.
- Сторона ромба 12 см. Найдите периметр.
- Сторона ромба 15 см. Найдите периметр.
Периметр можно записать как a + a + a + a или короче как 4a. Для этих задач длины диагоналей не нужны: условие уже содержит сторону.
Ответы и вычисления для восьми задач
1. Вторая диагональ: d₂ = 2 · 60 / 6 = 20 см. Проверка площади: 6 · 20 / 2 = 60 см². Ответ: 20 см.
2. Вторая диагональ: d₂ = 2 · 182 / 14 = 26 см. Проверка площади: 14 · 26 / 2 = 182 см². Ответ: 26 см.
3. Вторая диагональ: d₂ = 2 · 216 / 18 = 24 см. Проверка площади: 18 · 24 / 2 = 216 см². Ответ: 24 см.
4. Вторая диагональ: d₂ = 2 · 140 / 10 = 28 см. Проверка площади: 10 · 28 / 2 = 140 см². Ответ: 28 см.
5. P = 4 · 7 = 28 см. Ответ: 28 см.
6. P = 4 · 9 = 36 см. Ответ: 36 см.
7. P = 4 · 12 = 48 см. Ответ: 48 см.
8. P = 4 · 15 = 60 см. Ответ: 60 см.
Как исправить ошибку в формуле площади
Если при поиске диагонали ответ не проходит обратную подстановку, проверьте, удвоили ли вы площадь. Из равенства S = d₁ · d₂ / 2 следует, что произведение диагоналей равно 2S, а не S. Только после этого произведение делят на известную диагональ.
При поиске периметра не нужно возводить сторону в квадрат: складываются четыре длины, поэтому единица ответа остаётся линейной — сантиметр. При поиске площади произведение двух длин даёт квадратные сантиметры. Даже если числовые ответы случайно совпадут, обозначения см и см² показывают, что найдены разные величины.