Чтобы найти объём шара, возведите радиус в куб и подставьте его в формулу V = 4πr³/3. Чтобы найти площадь сферы, возведите радиус в квадрат и используйте S = 4πr².
Сфера — поверхность, а шар — тело, ограниченное этой поверхностью. Поэтому площадь относится к сфере, а объём — к шару. Ниже четыре разобранных примера и восемь задач для самостоятельного решения.
Как выбрать формулу по известному радиусу
Обозначим радиус буквой r, площадь сферы — S, объём шара — V. Формулы можно записать так:
- S = 4πr²;
- V = 4πr³/3.
Эти соотношения приведены в учебнике OpenStax. В задачах радиус измеряется в сантиметрах, площадь — в квадратных сантиметрах, а объём — в кубических. Число π оставляем в ответе: округлять его не требуется.
Если нужно сначала найти радиус по площади, разделите S на 4π. Получится r². Затем найдите положительное число, квадрат которого равен полученному результату. После этого радиус можно подставить в формулу объёма.
Для работы с единицами и смыслом объёма пригодится статья «Объём: как объяснить ребёнку кубики и пространство».
Четыре расчёта объёма по радиусу
Во всех примерах искомая величина — объём. Сначала вычисляем куб радиуса, затем умножаем результат на 4 и делим на 3. Множитель π сохраняем.
Радиус 3 см
Условие. Радиус шара 3 см. Найдите объём, сохранив π в ответе.
Куб радиуса равен 3³ = 27. Подставляем его:
V = 4 · 27π/3 = 36π см³.
Ответ: 36π см³.
Здесь деление на 3 удобно выполнить после умножения: 108 : 3 = 36. В ответе стоят кубические сантиметры, поскольку найден объём.
Радиус 6 см
Условие. Радиус шара 6 см. Найдите объём, сохранив π в ответе.
Сначала получаем 6³ = 216. Тогда:
V = 4 · 216π/3 = 864π/3 = 288π см³.
Ответ: 288π см³.
Можно сначала разделить 216 на 3, а затем умножить 72 на 4: результат будет тем же. Важно возводить в куб весь радиус, а не только умножать его на 3.
Радиус 9 см
Условие. Радиус шара 9 см. Найдите объём, сохранив π в ответе.
Находим 9³ = 729 и подставляем:
V = 4 · 729π/3 = 4 · 243π = 972π см³.
Ответ: 972π см³.
Промежуточное деление 729 : 3 = 243 упрощает счёт. Число 972 — коэффициент при π, а не приближённое значение всего объёма.
Радиус 12 см
Условие. Радиус шара 12 см. Найдите объём, сохранив π в ответе.
Вычисляем куб: 12³ = 1728. Получаем:
V = 4 · 1728π/3 = 4 · 576π = 2304π см³.
Ответ: 2304π см³.
Проверка подстановкой: 1728 : 3 = 576, а 576 · 4 = 2304. Единица ответа — см³.
Самостоятельно: площадь по радиусу
В каждой задаче найдите площадь сферы и сохраните π в ответе. Для расчёта используйте квадрат заданного радиуса.
- Радиус сферы 2 см. Найдите её площадь с π в ответе.
- Радиус сферы 4 см. Найдите её площадь с π в ответе.
- Радиус сферы 5 см. Найдите её площадь с π в ответе.
- Радиус сферы 7 см. Найдите её площадь с π в ответе.
Самостоятельно: радиус и объём по площади
Здесь понадобятся два действия: сначала найти положительный радиус по площади, затем вычислить объём шара. Ответ запишите в сантиметрах и кубических сантиметрах соответственно.
- Площадь сферы 16π см². Найдите её радиус и объём ограниченного ею шара.
- Площадь сферы 100π см². Найдите её радиус и объём ограниченного ею шара.
- Площадь сферы 256π см². Найдите её радиус и объём ограниченного ею шара.
- Площадь сферы 400π см². Найдите её радиус и объём ограниченного ею шара.
Ответы: площадь, радиус и объём
- 16π см². S = 4 · 2²π = 4 · 4π = 16π см².
- 64π см². S = 4 · 4²π = 4 · 16π = 64π см².
- 100π см². S = 4 · 5²π = 4 · 25π = 100π см².
- 196π см². S = 4 · 7²π = 4 · 49π = 196π см².
- r = 2 см; V = (32/3)π см³. r² = 16π/(4π) = 4, поэтому r = 2 см. Затем V = 4 · 2³π/3 = (32/3)π см³.
- r = 5 см; V = (500/3)π см³. r² = 100π/(4π) = 25, поэтому r = 5 см. Затем V = 4 · 5³π/3 = (500/3)π см³.
- r = 8 см; V = (2048/3)π см³. r² = 256π/(4π) = 64, поэтому r = 8 см. Затем V = 4 · 8³π/3 = (2048/3)π см³.
- r = 10 см; V = (4000/3)π см³. r² = 400π/(4π) = 100, поэтому r = 10 см. Затем V = 4 · 10³π/3 = (4000/3)π см³.
Где исправить ошибку в расчёте
При площади и объёме легко перепутать показатели степени. В формуле площади стоит r², а в формуле объёма — r³. Например, для радиуса 5 см площадь находится через 5² = 25; подстановка 5³ = 125 в эту формулу неверна.
В обратной задаче результат деления площади на 4π — это ещё не радиус, а его квадрат. Если получилось r² = 25, радиус равен 5 см, а не 25 см. Отрицательное число не подходит: радиус выражает длину.
Наконец, проверяйте запись дробного коэффициента. Величина (500/3)π означает, что на π умножается вся дробь 500/3. Скобки делают запись однозначной, а замена π десятичным приближением в этом практикуме не нужна.