Вертикальные углы равны: если известен один из них, второй имеет ту же величину. Это равенство помогает и тогда, когда угол задан выражением с неизвестным x.
Ниже — четыре разобранных примера и восемь задач для самостоятельного решения. В последней группе нужно найти все четыре угла, образованные двумя пересекающимися прямыми.
Как записать равенство углов
При пересечении двух прямых образуются четыре угла. Углы, расположенные друг напротив друга, называют вертикальными; они равны. Соседние углы в этой ситуации смежные, их сумма равна 180°. Эти свойства приведены в материале о вертикальных и смежных углах.
Величины углов записывают в градусах: например, 38°. Если величина задана выражением 3x + 7, само выражение означает число градусов. Значение x находят из уравнения, а затем отдельно указывают величины углов.
Чтобы не перепутать свойства, полезно различать два действия:
- для вертикального угла записать ту же величину;
- для соседнего смежного угла вычесть известную величину из 180°.
При решении уравнения сначала избавляются от свободного слагаемого, затем делят на коэффициент при x. Найденное число подставляют обратно: так можно проверить, действительно ли выражение задаёт нужный угол.
Четыре примера: найти противоположный угол
Пример 1. Угол 38°
Два угла вертикальные. Один равен 38°. Найдите другой.
Вертикальные углы равны, поэтому второй угол тоже равен 38°.
Ответ: 38°.
Пример 2. Угол 57°
Два угла вертикальные. Один равен 57°. Найдите другой.
Из равенства вертикальных углов следует, что неизвестный угол имеет ту же величину.
Ответ: 57°.
Пример 3. Угол 123°
Два угла вертикальные. Один равен 123°. Найдите другой.
Угол больше 90°, но правило равенства вертикальных углов от этого не меняется. Второй угол равен первому.
Ответ: 123°.
Пример 4. Угол 146°
Два угла вертикальные. Один равен 146°. Найдите другой.
Другой вертикальный угол равен 146°. Вычитать из 180° здесь не нужно: это действие понадобилось бы для соседнего смежного угла.
Ответ: 146°.
Во всех четырёх примерах дана именно вертикальная пара, поэтому вычислять сумму углов или искать разность не требуется. В следующих заданиях сначала используйте то же равенство, но запишите одну из величин через x.
Четыре задачи: найти x и величины углов
В каждой задаче приравняйте выражение к известной величине угла. В ответе запишите и значение x, и величину каждого из двух углов.
- Вертикальные углы равны 3x + 7 градусам и 43°. Найдите x и величину каждого угла.
- Вертикальные углы равны 2x + 9 градусам и 45°. Найдите x и величину каждого угла.
- Вертикальные углы равны 4x + 3 градусам и 87°. Найдите x и величину каждого угла.
- Вертикальные углы равны 3x + 5 градусам и 80°. Найдите x и величину каждого угла.
Например, при записи для первой задачи левая часть равенства обозначает величину одного угла в градусах, а правая — величину другого. Равенство составляют потому, что по условию эти углы вертикальные. При решении важно не принять найденное x за ответ о величине угла: x входит в выражение, но не обязательно равно ему.
Четыре задачи: найти три остальных угла
В каждой задаче две прямые пересекаются и образуют четыре угла. Сначала найдите угол, вертикальный данному, затем оба соседних с данным угла. Укажите три величины, не включая угол из условия.
- Две прямые пересеклись. Один из четырёх углов равен 29°. Найдите остальные три.
- Две прямые пересеклись. Один из четырёх углов равен 68°. Найдите остальные три.
- Две прямые пересеклись. Один из четырёх углов равен 112°. Найдите остальные три.
- Две прямые пересеклись. Один из четырёх углов равен 139°. Найдите остальные три.
Два соседних с данным угла равны друг другу: каждый из них смежен с исходным. При этом они вертикальны между собой. Если известный угол больше 90°, соседний получится меньше 90°, и наоборот. В ответе всё равно нужно назвать оба соседних угла, даже когда их величины совпадают.
Ответы и вычисления для восьми задач
1. 3x + 7 = 43; 3x = 36; x = 12. Подстановка: 3 · 12 + 7 = 43. Ответ: x = 12; оба угла по 43°.
2. 2x + 9 = 45; 2x = 36; x = 18. Подстановка: 2 · 18 + 9 = 45. Ответ: x = 18; оба угла по 45°.
3. 4x + 3 = 87; 4x = 84; x = 21. Подстановка: 4 · 21 + 3 = 87. Ответ: x = 21; оба угла по 87°.
4. 3x + 5 = 80; 3x = 75; x = 25. Подстановка: 3 · 25 + 5 = 80. Ответ: x = 25; оба угла по 80°.
5. Вертикальный угол равен 29°. Каждый соседний: 180° − 29° = 151°. Проверка: 29° + 29° + 151° + 151° = 360°. Ответ: 29°, 151°, 151°.
6. Вертикальный угол равен 68°. Каждый соседний: 180° − 68° = 112°. Проверка: 68° + 68° + 112° + 112° = 360°. Ответ: 68°, 112°, 112°.
7. Вертикальный угол равен 112°. Каждый соседний: 180° − 112° = 68°. Проверка: 112° + 112° + 68° + 68° = 360°. Ответ: 112°, 68°, 68°.
8. Вертикальный угол равен 139°. Каждый соседний: 180° − 139° = 41°. Проверка: 139° + 139° + 41° + 41° = 360°. Ответ: 139°, 41°, 41°.
Как исправить ошибку в записи
Если в задачах 1–4 получилось отрицательное x или выражение после подстановки не совпало с известным углом, проверьте перенос слагаемого: из обеих частей уравнения нужно вычесть одно и то же число. Например, из 3x + 7 = 43 получается 3x = 36, а не 3x = 50.
В задачах 5–8 частая ошибка — назвать все три оставшихся угла равными данному. Равен ему только угол напротив; два соседних вместе с данным по отдельности составляют развёрнутый угол. Другая ошибка — записать лишь две разные величины, забыв, что соседних углов два.
Для более широкого повторения пригодится материал «Подготовка к ОГЭ по геометрии: чертежи, свойства и доказательства».