Объём прямого кругового цилиндра находят по радиусу основания и высоте: V = πr²h. Если известны объём и радиус, из той же формулы можно найти высоту; для полной поверхности нужно учесть и боковую поверхность, и оба основания.
Сначала разберём четыре вычисления объёма, затем решим восемь задач на высоту и площадь всей поверхности. Во всех ответах с площадью и объёмом сохраним π.
Формулы и обозначения
Здесь r — радиус основания, h — высота, V — объём, S — площадь полной поверхности. Высота прямого цилиндра перпендикулярна плоскостям оснований. Для вычислений используем формулы из учебника OpenStax:
- V = πr²h.
- h = V / (πr²).
- S = 2πr² + 2πrh.
В последней формуле 2πr² — площадь двух оснований, а 2πrh — площадь боковой поверхности. Поэтому одно слагаемое 2πrh не даёт полной поверхности.
Если радиус и высота заданы в сантиметрах, высоту записываем в см, площадь — в см², объём — в см³. Для знакомства с самой величиной объёма пригодится статья «Объём: как объяснить ребёнку кубики и пространство».
Объём: четыре разобранных примера
В каждом примере возводим радиус в квадрат, умножаем результат на высоту и сохраняем множитель π. Радиус возводится в квадрат целиком, а высота в этой формуле остаётся в первой степени.
Пример 1
Условие. Прямой круговой цилиндр: радиус основания 2 см, высота 7 см. Найдите объём с π в ответе.
Квадрат радиуса равен 2² = 4. Подставляем данные:
V = π · 2² · 7 = π · 4 · 7 = 28π см³.
Ответ: 28π см³.
Пример 2
Условие. Прямой круговой цилиндр: радиус основания 3 см, высота 5 см. Найдите объём с π в ответе.
Сначала 3² = 9, затем умножаем 9 на высоту:
V = π · 3² · 5 = π · 9 · 5 = 45π см³.
Ответ: 45π см³.
Пример 3
Условие. Прямой круговой цилиндр: радиус основания 4 см, высота 6 см. Найдите объём с π в ответе.
Подставляем r = 4 и h = 6:
V = π · 4² · 6 = π · 16 · 6 = 96π см³.
Ответ: 96π см³.
Здесь 4² = 16, а не 8: возведение в квадрат означает умножение числа на само себя.
Пример 4
Условие. Прямой круговой цилиндр: радиус основания 5 см, высота 8 см. Найдите объём с π в ответе.
Находим квадрат радиуса и выполняем умножение:
V = π · 5² · 8 = π · 25 · 8 = 200π см³.
Ответ: 200π см³.
Число π не заменяем приближённым значением: условие просит сохранить его в ответе.
Восемь задач для самостоятельной работы
В задачах 1–4 найдите высоту. В задачах 5–8 отдельно вычислите сумму площадей оснований и площадь боковой поверхности, затем сложите их.
- Прямой круговой цилиндр имеет радиус основания 2 см и объём 36π см³. Найдите высоту.
- Прямой круговой цилиндр имеет радиус основания 3 см и объём 63π см³. Найдите высоту.
- Прямой круговой цилиндр имеет радиус основания 4 см и объём 80π см³. Найдите высоту.
- Прямой круговой цилиндр имеет радиус основания 5 см и объём 150π см³. Найдите высоту.
- Прямой круговой цилиндр с двумя основаниями: радиус 2 см, высота 5 см. Найдите площадь всей поверхности, сохранив π.
- Прямой круговой цилиндр с двумя основаниями: радиус 3 см, высота 4 см. Найдите площадь всей поверхности, сохранив π.
- Прямой круговой цилиндр с двумя основаниями: радиус 4 см, высота 7 см. Найдите площадь всей поверхности, сохранив π.
- Прямой круговой цилиндр с двумя основаниями: радиус 5 см, высота 3 см. Найдите площадь всей поверхности, сохранив π.
Ответы с вычислениями
- h = 36π / (π · 2²) = 36 / 4 = 9 см.
- h = 63π / (π · 3²) = 63 / 9 = 7 см.
- h = 80π / (π · 4²) = 80 / 16 = 5 см.
- h = 150π / (π · 5²) = 150 / 25 = 6 см.
- S = 2π · 2² + 2π · 2 · 5 = 8π + 20π = 28π см².
- S = 2π · 3² + 2π · 3 · 4 = 18π + 24π = 42π см².
- S = 2π · 4² + 2π · 4 · 7 = 32π + 56π = 88π см².
- S = 2π · 5² + 2π · 5 · 3 = 50π + 30π = 80π см².
В ответах на первые четыре задачи π сокращается при делении объёма на площадь основания. В последних четырёх оно остаётся общим множителем обоих слагаемых.
Где искать ошибку в решении
Получилось r · h вместо r² · h. Вернитесь к формуле объёма: сначала нужно умножить радиус на себя. Например, при r = 4 используется 16, а не 4.
Нашлась только боковая поверхность. Проверьте, есть ли в вычислении слагаемое 2πr². Оно добавляет площади двух оснований. Для полной поверхности его нужно сложить с 2πrh.
В ответе на задачу о высоте осталось π. Посмотрите на деление: если объём записан как число, умноженное на π, то в числителе и знаменателе формулы h = V / (πr²) есть общий множитель π.
Единица не соответствует вопросу. Высота — длина, площадь поверхности измеряется в квадратных единицах, объём — в кубических. Так, в задаче 5 результат 28π относится к площади и записывается в см².