Чтобы найти среднюю урожайность нескольких участков, сначала вычислите сбор с каждого: умножьте площадь на урожайность. Затем сложите сборы и разделите результат на общую площадь. Складывать показатели «центнеров с гектара» и делить их на число участков нельзя, если площади различаются.
Ниже — три разобранные задачи и восемь заданий для самостоятельного решения. Все числа относятся к учебным условиям, а не к оценке реальных полей.
Правило: общий сбор делим на общую площадь
Для двух участков запишите:
Средняя урожайность = (S₁ × y₁ + S₂ × y₂) / (S₁ + S₂).
Здесь S₁ и S₂ — площади участков в гектарах, y₁ и y₂ — урожайность каждого участка в центнерах с гектара. Произведение S × y показывает сбор в центнерах. В числителе получается общий сбор, в знаменателе — общая площадь. После деления единица ответа снова будет «центнеров с гектара», или ц/га.
Это случай среднего взвешенного: значение каждого участка учитывается с весом, равным его площади. Такое правило для среднего взвешенного приведено в открытом учебнике OpenStax; задачи и вычисления ниже составлены для этой статьи.
Для любого числа участков порядок тот же: найдите сбор с каждого, сложите все сборы и разделите на сумму всех площадей. Не нужно сначала находить «среднее для пары», а затем усреднять его с показателем третьего участка: без учёта площадей такой приём может дать неверный результат.
Как записать решение без путаницы в единицах
Удобно делать три короткие строки: «сбор», «площадь», «средняя урожайность». В первой строке каждое произведение имеет единицу «ц», во второй — «га», а в третьей деление даёт «ц/га». Если в промежуточной строке к центнерам прибавились гектары, значит, действия перепутаны.
Перед вычислением выделите в условии пары чисел: площадь первого участка и его урожайность, затем площадь второго и его урожайность. Не перемножайте площадь одного участка с показателем другого. Если сложно понять, какие величины к чему относятся, сначала разберите само условие. В этом помогает материал «Ребёнок не понимает условие задачи: как помочь разобраться».
Проверить ответ можно ещё до точного деления: средняя урожайность должна лежать между урожайностями отдельных участков. При этом она будет ближе к показателю участка большей площади. Такая проверка не заменяет расчёт, но помогает обнаружить ошибку в умножении или знаменателе.
Три разобранные задачи на среднюю урожайность
Пример 1. Ответ в виде дроби
Условие. С участка площадью 2 га получили по 20 центнеров с гектара, а с участка площадью 5 га — по 30 центнеров с гектара. Найдите среднюю урожайность двух участков вместе.
Сбор с первого участка: 2 × 20 = 40 ц. Со второго: 5 × 30 = 150 ц. Вместе получили 40 + 150 = 190 ц с площади 2 + 5 = 7 га.
Средняя урожайность: 190 / 7 = 190/7 ц/га. Дробь здесь является точным ответом; заменять её приблизительным десятичным числом не требуется. Результат находится между 20 и 30 ц/га и ближе к 30 ц/га, поскольку второй участок больше.
Пример 2. Десятичный ответ без округления
Условие. С участка площадью 3 га получили по 21 центнеру с гектара, а с участка площадью 7 га — по 32 центнера с гектара. Найдите среднюю урожайность двух участков вместе.
Общий сбор: 3 × 21 + 7 × 32 = 63 + 224 = 287 ц. Общая площадь: 3 + 7 = 10 га. Делим сбор на площадь: 287 / 10 = 28,7 ц/га.
Здесь десятичная запись точная: деление на 10 не требует округления. Если получить 26,5 ц/га как среднее чисел 21 и 32, площадь участков останется без внимания, а задача будет решена неверно.
Пример 3. Знаменатель — сумма площадей
Условие. С участка площадью 4 га получили по 22 центнера с гектара, а с участка площадью 9 га — по 34 центнера с гектара. Найдите среднюю урожайность двух участков вместе.
Сначала считаем сбор: 4 × 22 + 9 × 34 = 88 + 306 = 394 ц. Затем площадь: 4 + 9 = 13 га. Получаем 394 / 13 = 394/13 ц/га.
Делить 394 на 2, то есть на число участков, нельзя. Числитель выражен в центнерах, поэтому для получения ц/га его нужно разделить именно на площадь в гектарах.
Восемь задач для самостоятельного решения
Во всех заданиях найдите среднюю урожайность двух участков вместе. Для каждого запишите общий сбор, общую площадь и точный ответ в ц/га. Если получается дробь, не округляйте её.
- С участка площадью 5 га получили по 23 центнера с гектара, а с участка площадью 11 га — по 36 центнеров с гектара.
- С участка площадью 6 га получили по 24 центнера с гектара, а с участка площадью 13 га — по 38 центнеров с гектара.
- С участка площадью 7 га получили по 25 центнеров с гектара, а с участка площадью 15 га — по 40 центнеров с гектара.
- С участка площадью 8 га получили по 26 центнеров с гектара, а с участка площадью 17 га — по 42 центнера с гектара.
- С участка площадью 9 га получили по 27 центнеров с гектара, а с участка площадью 19 га — по 44 центнера с гектара.
- С участка площадью 10 га получили по 28 центнеров с гектара, а с участка площадью 21 га — по 46 центнеров с гектара.
- С участка площадью 11 га получили по 29 центнеров с гектара, а с участка площадью 23 га — по 48 центнеров с гектара.
- С участка площадью 12 га получили по 30 центнеров с гектара, а с участка площадью 25 га — по 50 центнеров с гектара.
Ответы с вычислениями
Сверяйте не только последнее число. Если ответ не совпал, сравните по порядку сбор с каждого участка, их сумму и общую площадь. Так легче найти строку, в которой появилась ошибка.
- Общий сбор: 5 × 23 + 11 × 36 = 115 + 396 = 511 ц. Площадь: 5 + 11 = 16 га. Ответ: 511/16 ц/га.
- Общий сбор: 6 × 24 + 13 × 38 = 144 + 494 = 638 ц. Площадь: 6 + 13 = 19 га. Ответ: 638/19 ц/га.
- Общий сбор: 7 × 25 + 15 × 40 = 175 + 600 = 775 ц. Площадь: 7 + 15 = 22 га. Ответ: 775/22 ц/га.
- Общий сбор: 8 × 26 + 17 × 42 = 208 + 714 = 922 ц. Площадь: 8 + 17 = 25 га. 922 / 25 = 36,88 ц/га.
- Общий сбор: 9 × 27 + 19 × 44 = 243 + 836 = 1079 ц. Площадь: 9 + 19 = 28 га. Ответ: 1079/28 ц/га.
- Общий сбор: 10 × 28 + 21 × 46 = 280 + 966 = 1246 ц. Площадь: 10 + 21 = 31 га. Ответ: 1246/31 ц/га.
- Общий сбор: 11 × 29 + 23 × 48 = 319 + 1104 = 1423 ц. Площадь: 11 + 23 = 34 га. Ответ: 1423/34 ц/га.
- Общий сбор: 12 × 30 + 25 × 50 = 360 + 1250 = 1610 ц. Площадь: 12 + 25 = 37 га. Ответ: 1610/37 ц/га.
Как исправить типичные ошибки в записи
Если вы сложили две урожайности и разделили на два, вернитесь к площадям. Такое среднее учитывает оба участка одинаково, хотя в этих задачах они занимают разную площадь. Исправление начинается не с другого способа деления, а с вычисления сбора каждого участка.
Если числитель верен, а ответ нет, проверьте знаменатель отдельно. В нём должны стоять только площади, причём обе. Например, после нахождения общего сбора нельзя делить его на площадь одного участка: вопрос относится к ним вместе.
Если получилось число меньше обеих исходных урожайностей или больше обеих, найдите арифметическую ошибку. Все сборы и площади здесь положительны, поэтому средний показатель не выходит за пределы двух данных показателей.
Наконец, сохраняйте единицы измерения до ответа. Запись «511» сама по себе обозначает сбор в центнерах, а не урожайность. Лишь после деления на 16 га получается показатель в ц/га. Так можно проверить смысл каждого действия, а не только совпадение числа с ключом.