Чтобы найти длину вектора по координатам, возведите каждую координату в квадрат, сложите результаты и извлеките квадратный корень. Длина не бывает отрицательной.
Разберём два вектора с двумя координатами, а затем решим шесть задач с двумя и тремя координатами, в том числе отрицательными. Для вычислений используется прямоугольная система координат с одинаковым масштабом по осям.
Как читать формулу
Пусть вектор a задан координатами (x, y). Его длина обозначается |a|:
| a | = √(x² + y²). |
|---|
Если координат три — (x, y, z), добавьте квадрат третьей координаты:
| a | = √(x² + y² + z²). |
|---|
Это правило для ортонормированной декартовой системы координат приведено в учебнике OpenStax. Приведённые ниже условия и числа составлены отдельно для практики.
Знак √ обозначает неотрицательный квадратный корень. Например, √25 = 5: число 5 при возведении в квадрат даёт 25. При работе с отрицательной координатой сначала удобно поставить её в скобки: (-3)² = 9.
Разбор 1. Вектор с координатами (3, 4)
Условие. Вектор задан координатами (3, 4). Найдите его длину.
Возведём каждую координату в квадрат и сложим результаты:
3² + 4² = 9 + 16 = 25.
Извлечём корень:
| a | = √25 = 5. |
|---|
Ответ: 5.
Проверка: 5² = 25. Квадрат ответа равен сумме квадратов координат.
Разбор 2. Вектор с координатами (5, 12)
Условие. Вектор задан координатами (5, 12). Найдите его длину.
Сначала найдём квадраты и их сумму:
5² + 12² = 25 + 144 = 169.
Теперь извлечём корень:
| a | = √169 = 13. |
|---|
Ответ: 13.
Проверка: 13² = 169. Корень извлекают после сложения квадратов, а не из каждой координаты по отдельности.
Шесть задач для практики
Выпишите все координаты, найдите квадрат каждой и только затем складывайте. В задачах с тремя координатами в сумме должно быть три слагаемых.
- Вектор задан координатами (1, 2, 2). Найдите его длину.
- Вектор задан координатами (2, 3, 6). Найдите его длину.
- Вектор задан координатами (-8, 15). Найдите его длину.
- Вектор задан координатами (-2, -3, 6). Найдите его длину.
- Вектор задан координатами (-3, -4). Найдите его длину.
- Вектор задан координатами (-1, -2, -2). Найдите его длину.
Решения и проверка
1. Координаты (1, 2, 2). Сумма квадратов: 1² + 2² + 2² = 1 + 4 + 4 = 9. Длина: √9 = 3. Проверка: 3² = 9.
2. Координаты (2, 3, 6). Сумма квадратов: 2² + 3² + 6² = 4 + 9 + 36 = 49. Длина: √49 = 7. Проверка: 7² = 49.
3. Координаты (-8, 15). Сумма квадратов: (-8)² + 15² = 64 + 225 = 289. Длина: √289 = 17. Проверка: 17² = 289.
4. Координаты (-2, -3, 6). Сумма квадратов: (-2)² + (-3)² + 6² = 4 + 9 + 36 = 49. Длина: √49 = 7. Проверка: 7² = 49.
5. Координаты (-3, -4). Сумма квадратов: (-3)² + (-4)² = 9 + 16 = 25. Длина: √25 = 5. Проверка: 5² = 25.
6. Координаты (-1, -2, -2). Сумма квадратов: (-1)² + (-2)² + (-2)² = 1 + 4 + 4 = 9. Длина: √9 = 3. Проверка: 3² = 9.
Как исправить ошибку со знаком
Частая ошибка — сохранить минус после возведения отрицательной координаты в квадрат. Например, в третьей задаче нужно получить (-8)² = 64, а не -64: отрицательное число умножается само на себя.
Если ответ не совпал с ключом, сначала проверьте квадраты и их сумму. Потом возведите полученную длину в квадрат: результат должен совпасть с этой суммой. Сверьте и знак ответа — длина не может быть отрицательной.
Если трудно выделить данные и вопрос до вычислений, поможет статья «Ребёнок не понимает условие задачи: как помочь разобраться».