Чтобы сложить или вычесть векторы по координатам, выполните действие отдельно с каждой парой соответствующих координат. Для разности порядок важен: из координаты первого вектора вычитают координату второго.
Сначала разберём два примера, затем можно решить шесть задач и проверить вычисления по отдельному ключу. Все координаты в каждой паре записаны в одном и том же базисе.
Как читать запись
В записи a = (2, 3) буква a обозначает вектор, а числа в скобках — его координаты. У вектора в записи (1, 2, 3) координат три. Действия выполняются покоординатно: первую координату соединяют с первой, вторую — со второй и, если есть третья, третью — с третьей. Это правило описано в учебнике OpenStax.
Для двух координат удобно записать общий порядок:
- a + b = (a₁ + b₁, a₂ + b₂);
- a − b = (a₁ − b₁, a₂ − b₂).
Индексы показывают номер координаты, а не степень. В трёхмерном случае тем же способом добавляют третью координату результата.
Разбор 1: следим за отрицательным числом
Даны векторы a = (2, 3), b = (4, -1). Найдите a + b и a − b.
Для суммы складываем соответствующие числа:
a + b = (2 + 4, 3 + (-1)) = (6, 2).
Для разности вычитаем каждую координату b из соответствующей координаты a:
a − b = (2 − 4, 3 − (-1)) = (-2, 4).
Во второй координате вычитание отрицательного числа даёт сложение: 3 − (-1) = 3 + 1. Проверим разность обратным действием: (-2, 4) + (4, -1) = (2, 3), то есть получился исходный вектор a.
Разбор 2: отдельно считаем каждую пару
Даны векторы a = (-1, 5), b = (3, 2). Найдите a + b и a − b.
Сумма:
a + b = (-1 + 3, 5 + 2) = (2, 7).
Разность:
a − b = (-1 − 3, 5 − 2) = (-4, 3).
Проверка суммы: (2, 7) − (3, 2) = (-1, 5). Проверка разности: (-4, 3) + (3, 2) = (-1, 5). В обоих случаях восстановили a.
Решите самостоятельно
Для каждого номера найдите оба вектора. Записывайте промежуточные действия в скобках: так проще увидеть знак и не пропустить координату.
3. Даны векторы a = (1, 2, 3), b = (4, 0, -2). Найдите a + b и a − b.
4. Даны векторы a = (3, -4), b = (2, 7). Найдите a + b и a − b.
5. Даны векторы a = (0, 2, -3), b = (5, -1, 4). Найдите a + b и a − b.
6. Даны векторы a = (-2, -5), b = (6, 1). Найдите a + b и a − b.
7. Даны векторы a = (4, 3), b = (-1, -2). Найдите a + b и a − b.
8. Даны векторы a = (2, 0, 1), b = (3, -4, -2). Найдите a + b и a − b.
Ответы с вычислениями
3. a + b = (1 + 4, 2 + 0, 3 + (-2)) = (5, 2, 1). a − b = (1 − 4, 2 − 0, 3 − (-2)) = (-3, 2, 5).
4. a + b = (3 + 2, -4 + 7) = (5, 3). a − b = (3 − 2, -4 − 7) = (1, -11).
5. a + b = (0 + 5, 2 + (-1), -3 + 4) = (5, 1, 1). a − b = (0 − 5, 2 − (-1), -3 − 4) = (-5, 3, -7).
6. a + b = (-2 + 6, -5 + 1) = (4, -4). a − b = (-2 − 6, -5 − 1) = (-8, -6).
7. a + b = (4 + (-1), 3 + (-2)) = (3, 1). a − b = (4 − (-1), 3 − (-2)) = (5, 5).
8. a + b = (2 + 3, 0 + (-4), 1 + (-2)) = (5, -4, -1). a − b = (2 − 3, 0 − (-4), 1 − (-2)) = (-1, 4, 3).
Где искать ошибку
Часто при вычитании отрицательной координаты забывают изменить знак действия. Например, в задаче 7 первая координата разности равна 4 − (-1) = 5, а не 3. Если ответ не совпал с ключом, найдите первую отличающуюся координату и пересчитайте только её пару.
Для проверки любого ответа к сумме вычтите b: должно получиться a. К разности, наоборот, прибавьте b. Сравнивайте координаты по порядку; результат должен содержать столько же координат, сколько каждый исходный вектор.
Если трудность начинается ещё до вычислений, поможет статья «Ребёнок не понимает условие задачи: как помочь разобраться».