Кубическое уравнение содержит неизвестную в третьей степени. В школьных примерах его часто удаётся решить разложением левой части на множители: если произведение равно нулю, хотя бы один множитель равен нулю. Поэтому первая цель — получить вместо одного уравнения третьей степени несколько простых уравнений.
Начните с осмотра всех слагаемых. Есть общий множитель — вынесите его. Видна группировка или сумма либо разность кубов — воспользуйтесь ею. Если готового разложения нет, попробуйте найти целый корень подстановкой, а затем выделить соответствующий линейный множитель. Оставшееся уравнение будет квадратным.
Сначала приведите уравнение к нулю
Чтобы разложение помогло найти корни, запишите уравнение в виде P(x) = 0. Например, из x³ + 2x = 3x² получится x³ − 3x² + 2x = 0. Теперь видно, что каждое слагаемое содержит x:
x³ − 3x² + 2x = x(x² − 3x + 2) = x(x − 1)(x − 2).
Значит, x = 0, x = 1 или x = 2. Подстановка в исходное уравнение подтверждает все три ответа.
Не начинайте с деления обеих частей на x. Деление возможно лишь при x ≠ 0, а здесь ноль как раз является корнем. Безопасный порядок такой: сначала вынести x, записать случай x = 0, затем решить уравнение для второго множителя.
Тот же приём работает, когда после вынесения x остаётся квадратное уравнение с иррациональными корнями:
x³ − 5x = x(x² − 5) = 0.
Первый корень — 0. Из x² − 5 = 0 получаем ещё два: √5 и −√5. Ответ: 0, −√5, √5. Не требуется превращать их в приближённые десятичные числа, если условие не просит приближения.
Проверьте, можно ли сгруппировать слагаемые
Группировка помогает, когда две пары слагаемых после вынесения множителей дают одинаковую скобку. Рассмотрим уравнение:
x³ − x² + 4x − 4 = 0.
Из первых двух слагаемых вынесем x², из последних — 4:
x²(x − 1) + 4(x − 1) = 0.
Общая скобка теперь видна: (x − 1)(x² + 4) = 0. Первое уравнение даёт x = 1. Уравнение x² + 4 = 0 действительных корней не имеет, поскольку квадрат действительного числа не бывает отрицательным. Следовательно, действительный корень здесь один — 1.
Группировка не обязана совпадать с порядком записи слагаемых. Например:
2x³ − x² − 8x + 4 = 0.
Здесь удобно объединить первые два и последние два слагаемых:
x²(2x − 1) − 4(2x − 1) = (2x − 1)(x² − 4) = 0.
Разность квадратов даёт (2x − 1)(x − 2)(x + 2) = 0. Корни: 1/2, 2 и −2. После каждого вынесения мысленно раскройте скобки: так легче заметить потерянный минус перед четвёркой.
Узнайте сумму или разность кубов
Два куба тоже можно разложить. Формулы полезно проверять раскрытием скобок:
a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²);
a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²).
В уравнении x³ + 8 = 0 число 8 — это 2³. Поэтому
x³ + 8 = (x + 2)(x² − 2x + 4) = 0.
Из первого множителя получаем x = −2. Для второго можно выделить квадрат: x² − 2x + 4 = (x − 1)² + 3. Это выражение положительно при любом действительном x, новых корней нет.
Для разности кубов возьмём x³ − 27 = 0. Разложение имеет вид (x − 3)(x² + 3x + 9) = 0. Первый множитель даёт x = 3. У второго дискриминант равен 3² − 4 · 1 · 9 = −27, поэтому действительных корней он не даёт.
Знак в средней части скобки меняется в зависимости от формулы. При сомнении умножьте полученные множители обратно: верное произведение обязано восстановить исходный многочлен без лишних слагаемых.
Если готового разложения нет, ищите корень среди кандидатов
Для многочлена с целыми коэффициентами и ненулевым свободным членом целый корень, если он есть, делит свободный член. Это сужает перебор, но не превращает каждого делителя в корень. Значение нужно проверить подстановкой. Связь найденного корня с множителем описана в разделе OpenStax о корнях многочленов: если P(r) = 0, многочлен делится на x − r.
Разберём уравнение x³ − 4x² − 11x + 30 = 0. Возможные целые корни находятся среди делителей 30: ±1, ±2, ±3, ±5, ±6, ±10, ±15, ±30. Проверять все подряд не нужно: можно начать с небольших чисел.
При x = 1 левая часть равна 1 − 4 − 11 + 30 = 16, значит, 1 не подходит. При x = 2 получаем 8 − 16 − 22 + 30 = 0. Итак, x − 2 — множитель. Но корень 2 ещё не завершает решение: остальные корни могут скрываться в квадратном множителе.
Выделите квадратный множитель и решите его
После нахождения корня 2 представим многочлен как произведение:
x³ − 4x² − 11x + 30 = (x − 2)(x² + bx + c).
Чтобы определить b и c, раскроем скобки:
(x − 2)(x² + bx + c) = x³ + (b − 2)x² + (c − 2b)x − 2c.
Сравним коэффициенты с исходным многочленом. Из b − 2 = −4 получаем b = −2. Из −2c = 30 следует c = −15. Проверим средний коэффициент: c − 2b = −15 + 4 = −11. Он совпал, значит, разложение верно.
Осталось решить x² − 2x − 15 = 0. Оно раскладывается как (x − 5)(x + 3) = 0. Полное разложение:
x³ − 4x² − 11x + 30 = (x − 2)(x − 5)(x + 3).
Ответ: −3, 2, 5. Здесь все три корня действительные и разные, но так бывает не в каждом кубическом уравнении.
После выделения линейного множителя квадратную часть иногда удобнее решать дискриминантом, а иногда — разложением. Если этот переход вызывает затруднение, пригодится материал «Уравнения, сводящиеся к квадратным: замена переменной и проверка».
Как понять, что подбор не помогает
Подбор целого корня — приём для подходящих примеров, а не обещание найти корень любого кубического уравнения. Уравнение x³ − 2 = 0 имеет действительный корень ∛2, но среди целых чисел корня нет. Отсутствие целого корня не означает отсутствие действительного решения.
Если старший коэффициент не равен единице, возможен и дробный рациональный корень. Уже рассмотренный многочлен 2x³ − x² − 8x + 4 имеет корень 1/2. Поэтому для такого примера проверка только целых чисел была бы неполной. В школьной задаче сначала стоит искать заметную группировку; она может показать дробный корень без длинного перебора.
Число три в названии степени также не означает три различных действительных ответа. Например, x³ − 3x + 2 = (x − 1)²(x + 2). Действительных корней два: 1 и −2. Корень 1 входит в разложение дважды, но в ответе его записывают один раз, если требуется перечислить различные значения x.
Потренируйтесь на двух уравнениях
Упражнение 1. Решите x³ − 7x² + 10x = 0.
Здесь сначала выносится общий множитель: x(x² − 7x + 10) = 0. Квадратный трёхчлен раскладывается как (x − 2)(x − 5), поскольку 2 · 5 = 10 и 2 + 5 = 7. Полное разложение — x(x − 2)(x − 5) = 0. Ответ: 0, 2, 5. Важный контрольный вопрос: остался ли в ответе ноль после перехода к квадратному уравнению?
Упражнение 2. Решите x³ − 5x² − 2x + 24 = 0.
Общего множителя у всех слагаемых нет. Свободный член равен 24, поэтому можно проверить его небольшие целые делители. Для x = 3 получаем 27 − 45 − 6 + 24 = 0. Значит, один множитель — x − 3. Ищем остальные в виде (x − 3)(x² + bx + c). Сравнение коэффициентов даёт b − 3 = −5, то есть b = −2, и −3c = 24, то есть c = −8. Проверка коэффициента при x: c − 3b = −8 + 6 = −2.
Получилось (x − 3)(x² − 2x − 8) = (x − 3)(x − 4)(x + 2). Ответ: −2, 3, 4. Чтобы проверить работу целиком, достаточно раскрыть три скобки и убедиться, что вернулись коэффициенты исходного многочлена. Такой контроль обнаруживает и неверный подобранный корень, и ошибку при выделении квадратного множителя.