Логарифмическое уравнение начинайте с области допустимых значений, или ОДЗ: каждый аргумент логарифма должен быть больше нуля. Затем используйте вид уравнения. Если logₐ(f(x)) = b, переходите к f(x) = a^b. Если равны логарифмы с одним основанием, приравнивайте их аргументы. Если логарифмы складываются, сначала запишите условия для каждого аргумента, а затем объединяйте сумму.
Например, log₃(x−1) = 2 требует x−1 > 0. После перехода к степени получаем x−1 = 3² = 9, то есть x = 10. Число 10 удовлетворяет условию x > 1; проверка даёт log₃(9) = 2. Такой порядок — ограничение, решение, отбор — помогает не принять лишний корень.
Запишите условия до преобразований
Аргумент — это выражение в скобках после обозначения логарифма. В log₂(x+4) аргумент равен x+4, поэтому необходимо x+4 > 0. Если в уравнении два логарифма, условие нужно для каждого из них отдельно.
Основание в этой статье — постоянное число: положительное и не равное 1. Например, основания 2, 5 и 1/2 подходят. Неизвестное в основании требует отдельного разбора; здесь x находится только в аргументах.
Для уравнения log₂(x−1) + log₂(x−3) = 3 запишем два условия: x−1 > 0 и x−3 > 0. Вместе они дают x > 3. Лучше сделать это до сложения логарифмов: после объединения будет видно лишь произведение (x−1)(x−3), а его положительность сама по себе не гарантирует положительность каждого множителя.
ОДЗ удобно писать рядом с исходным уравнением и не стирать в ходе решения. Когда появятся кандидаты на ответ, их можно будет сразу сравнить с записанным условием.
Случай 1. Один логарифм равен числу
Смысл записи logₐ(u) = b таков: a в степени b равно u. Здесь u обозначает весь аргумент логарифма, а не отдельную букву в исходном задании.
Решим log₍₁⁄₂₎(x+2) = −2. Для ясности основание можно записать и так: log_(1/2)(x+2).
- ОДЗ: x+2 > 0, значит, x > −2.
- Переход к степени: x+2 = (1/2)^(−2) = 4.
- Решение обычного уравнения: x = 2.
- Отбор: 2 > −2, поэтому корень допустим.
Проверка: при x = 2 аргумент равен 4, а (1/2)^(−2) = 4. Следовательно, log_(1/2)(4) = −2. Отрицательный ответ логарифма здесь не означает отрицательного аргумента: аргумент остаётся положительным.
Аргумент может содержать x². Например, в log₅(x²−4) = 1 сначала требуется x²−4 > 0. Затем переход к степени даёт x²−4 = 5, то есть x² = 9. Получаем x = −3 или x = 3. При каждом значении аргумент равен 5, поэтому оба корня подходят и проверяются равенством log₅(5) = 1.
Не выбирайте только положительное значение x по привычке. Положительным должен быть аргумент целиком. В последнем примере при x = −3 он равен (−3)²−4 = 5.
Случай 2. Логарифмы с одинаковым основанием равны
Рассмотрим log₂(x+5) = log₂(3x−1). Поскольку основания совпадают, после записи ОДЗ можно приравнять аргументы. Начнём с ограничений:
x+5 > 0 и 3x−1 > 0.
Второе условие строже: x > 1/3. Теперь решим x+5 = 3x−1. Получаем 6 = 2x, значит, x = 3. Это число входит в ОДЗ. Подстановка в исходное уравнение даёт log₂(8) = log₂(8).
Одинаковое основание здесь принципиально. Если основания различаются, равенство значений логарифмов не даёт права просто приравнять выражения в скобках. Также нельзя отбросить ОДЗ после составления уравнения для аргументов: найденное значение x должно делать оба исходных логарифма определёнными.
Полезно смотреть, какая часть работы уже выполнена. Равенство аргументов даёт кандидата. Проверка ОДЗ решает, является ли он корнем исходного логарифмического уравнения. Если кандидат нарушает хотя бы одно условие, в ответ он не попадает.
Случай 3. Сумма логарифмов
Решим log₂(x−1) + log₂(x−3) = 3. ОДЗ уже нашли: x > 3. На этой области оба аргумента положительны, поэтому сумму можно записать как один логарифм произведения:
log₂((x−1)(x−3)) = 3.
Переходим к степени: (x−1)(x−3) = 2³ = 8. Раскрываем скобки: x²−4x+3 = 8, то есть x²−4x−5 = 0. Разложение (x−5)(x+1) = 0 даёт два кандидата: x = 5 и x = −1.
Теперь используем записанное в начале условие x > 3. Подходит только x = 5. Проверка в исходном уравнении: log₂(4) + log₂(2) = 2 + 1 = 3. При x = −1 оба исходных аргумента отрицательны, поэтому проверять сумму логарифмов как числовое равенство для него нельзя: такая запись не определена.
Уравнение (x−1)(x−3) = 8 получилось после преобразования, которое применялось на ОДЗ. Поэтому его корни нужно рассматривать как кандидатов, а не автоматически переносить в ответ. Если после раскрытия скобок вышло квадратное уравнение и нужно повторить работу с его корнями, поможет статья «Уравнения, сводящиеся к квадратным: замена переменной и проверка».
Проверьте не только вычисление, но и исходные аргументы
При проверке подставляйте найденное x в первоначальную запись, пока логарифмы ещё не объединены. Так сразу видно, определён ли каждый из них. Например, положительное произведение двух отрицательных чисел не исправляет исходную сумму логарифмов: каждый из них по отдельности всё равно имеет недопустимый аргумент.
В одних заданиях после перехода к степени получается единственный кандидат, в других — несколько. Запись «ответ: все корни квадратного уравнения» не завершает решение логарифмического уравнения. Для каждого кандидата сравните его с ОДЗ, затем проверьте оставшиеся значения подстановкой.
Отдельно следите за скобками. В log₃(x−1) число −1 относится к аргументу; запись log₃(x)−1 означает другое выражение. При переписывании уравнения сохраняйте скобки вокруг аргумента, особенно когда переходите к степени или умножаете два выражения.
Решите без подсказки о приёме
Во всех заданиях основания постоянны. Сначала выпишите ОДЗ, затем решайте уравнение и оставляйте только допустимые корни.
- log₄(x−2) = 2.
- log_(1/3)(x+1) = −1.
- log₃(x+4) = log₃(2x−1).
- log₂(x−2) + log₂(x−4) = 3.
- log₅(x²−1) = 1.
- log₃(x) + log₃(x−2) = 1.
Ключ с решением
1. ОДЗ: x > 2. Из x−2 = 4² = 16 получаем x = 18. Условие выполнено; проверка: log₄(16) = 2.
2. ОДЗ: x > −1. Переходим к степени: x+1 = (1/3)^(−1) = 3. Значит, x = 2. Это допустимое число, и log_(1/3)(3) = −1.
3. Нужно x+4 > 0 и 2x−1 > 0; вместе x > 1/2. Приравниваем аргументы: x+4 = 2x−1, откуда x = 5. Число подходит. В исходном уравнении обе стороны равны log₃(9).
4. ОДЗ: x−2 > 0 и x−4 > 0, то есть x > 4. Объединяем логарифмы и переходим к степени: (x−2)(x−4) = 8. После раскрытия скобок x²−6x = 0, поэтому кандидаты x = 0 и x = 6. ОДЗ оставляет x = 6. Проверка: log₂(4) + log₂(2) = 2 + 1 = 3.
5. ОДЗ: x²−1 > 0. Переход к степени даёт x²−1 = 5, затем x² = 6. Кандидаты x = −√6 и x = √6. Для каждого из них аргумент равен 5, поэтому оба подходят: log₅(5) = 1.
6. ОДЗ: x > 0 и x−2 > 0, вместе x > 2. После объединения логарифмов получаем x(x−2) = 3, или x²−2x−3 = 0. Из (x−3)(x+1) = 0 следуют кандидаты 3 и −1. Подходит только x = 3. Проверка: log₃(3) + log₃(1) = 1 + 0 = 1.
Если ответ не совпал, вернитесь к первой строке решения и проверьте ОДЗ. Затем проверьте переход от логарифма к степени и вычисления в обычном уравнении. Такой порядок показывает, на каком шаге возникла ошибка, и помогает исправить её без угадывания корня.