Чтобы решить неравенство с произведением двух линейных множителей, найдите их нули и определите знак произведения на промежутках между ними и за ними. Затем выберите промежутки, которые подходят знаку неравенства.
В строгих неравенствах > и < нули не входят в ответ. В нестрогих >= и <= они подходят, потому что произведение в этих точках равно нулю. Принцип знаков и запись ответа промежутками объясняются в учебных материалах OpenStax.
Как читать запись
Выражение вида x − a обращается в ноль при x = a. Например, в множителе x − (-3) нуль равен -3: именно это число нужно подставить вместо x, чтобы получить ноль.
Круглая скобка у границы означает, что она не входит в промежуток; квадратная — что входит. Символ ∪ объединяет подходящие промежутки. У бесконечности всегда ставят круглую скобку: бесконечность не является числом, которое можно включить в ответ.
В каждом задании ниже два разных корня. Слева от меньшего корня оба множителя отрицательны, между корнями их знаки различаются, а справа от большего оба положительны. Поэтому произведение положительно снаружи и отрицательно между корнями.
Разбор 1. Произведение больше нуля
Решите неравенство (x−(-3))(x−(2)) > 0.
- Нули множителей: -3 и 2.
- При x < -3 оба множителя отрицательны, поэтому произведение положительно.
- При -3 < x < 2 знаки множителей разные: произведение отрицательно.
- При x > 2 оба множителя положительны: произведение положительно.
- Нули не включаем: требуется значение строго больше нуля.
Ответ: (-∞; -3) ∪ (2; +∞).
Проверка: при x = -4 произведение положительно, при x = 0 отрицательно, при x = 3 положительно. В точках -3 и 2 оно равно нулю.
Разбор 2. Произведение меньше нуля
Решите неравенство (x−(-2))(x−(4)) < 0.
Нули множителей — -2 и 4. Произведение отрицательно между ними, где один множитель положителен, а другой отрицателен. Границы не входят: неравенство строгое.
Ответ: (-2; 4).
Проверка: при x = 0 получаем 2 · (-4) = -8, это меньше нуля. При x = -2 или x = 4 произведение равно нулю, поэтому эти точки исключены.
Шесть неравенств
Для каждого задания выпишите два корня, выберите нужные промежутки и отдельно решите, включать ли границы.
3. Решите неравенство (x−(1))(x−(5)) >= 0.
4. Решите неравенство (x−(-4))(x−(-1)) <= 0.
5. Решите неравенство (x−(-5))(x−(3)) > 0.
6. Решите неравенство (x−(0))(x−(6)) < 0.
7. Решите неравенство (x−(-6))(x−(-2)) >= 0.
8. Решите неравенство (x−(2))(x−(7)) <= 0.
Ключ с решениями
3. Корни 1 и 5. Нужно неотрицательное произведение: берём внешние промежутки и оба корня. Ответ: (-∞; 1] ∪ [5; +∞). Проверка: при x = 0 произведение положительно, при x = 3 отрицательно; на границах равно нулю.
4. Корни -4 и -1. Нужно неположительное произведение: берём промежуток между корнями вместе с границами. Ответ: [-4; -1]. При x = -2 произведение отрицательно, на границах равно нулю.
5. Корни -5 и 3. Положительное произведение находится вне корней; сами корни исключаем. Ответ: (-∞; -5) ∪ (3; +∞). При x = 0 произведение отрицательно, поэтому промежуток между корнями не подходит.
6. Корни 0 и 6. Отрицательное произведение находится между ними; границы не входят. Ответ: (0; 6). При x = 1 произведение отрицательно, а при x = 0 равно нулю.
7. Корни -6 и -2. Неотрицательное произведение находится вне корней и равно нулю на границах. Ответ: (-∞; -6] ∪ [-2; +∞). При x = -4 произведение отрицательно, поэтому внутренняя часть не подходит.
8. Корни 2 и 7. Неположительное произведение находится между корнями и на них. Ответ: [2; 7]. При x = 3 произведение отрицательно, при x = 2 равно нулю.
Ошибка со знаком корня
В записи x − (-6) легко назвать корнем 6. Проверяйте подстановкой: при x = -6 получаем -6 − (-6) = 0. Положительное число 6 здесь нулём не является.
Если сложно понять, что именно требуется найти и как выделить данные, поможет статья «Ребёнок не понимает условие задачи: как помочь разобраться».