Чтобы найти произведение матриц 2×2, для каждой клетки ответа умножьте элементы строки первой матрицы на соответствующие элементы столбца второй и сложите два произведения. Так получатся четыре числа новой матрицы.
В двух разборах ниже показаны все четыре вычисления. Затем можно решить шесть задач и проверить не только ответ, но и каждую промежуточную сумму.
Как читать запись
Запись A = [[1, 1], [2, -1]] означает, что первая строка матрицы A состоит из чисел 1 и 1, а вторая — из 2 и -1. В такой же записи для B её столбцы образуют числа, стоящие на одинаковых местах в двух строках.
В произведении AB элемент Cᵢⱼ получается из строки i матрицы A и столбца j матрицы B: Cᵢⱼ = ΣAᵢₖBₖⱼ. Порядок множителей важен: в общем случае AB и BA не равны. Правило описано в учебнике OpenStax.
Удобно заполнять ответ по строкам: сначала две клетки из первой строки A, затем две клетки из второй. Для каждой клетки заново выбирайте нужный столбец B.
Разбор 1: четыре клетки по порядку
Условие. Найдите произведение AB матриц 2×2; строки перечислены в списках. A = [[1, 1], [2, -1]], B = [[1, 1], [0, 2]].
Столбцы B — это пары 1, 0 и 1, 2. Вычислим элементы ответа:
- Первая строка, первый столбец: 1 × 1 + 1 × 0 = 1.
- Первая строка, второй столбец: 1 × 1 + 1 × 2 = 3.
- Вторая строка, первый столбец: 2 × 1 + (-1) × 0 = 2.
- Вторая строка, второй столбец: 2 × 1 + (-1) × 2 = 0.
Ответ: AB = [[1, 3], [2, 0]]. Каждая пара чисел в ответе — отдельная строка.
Разбор 2: следим за отрицательным числом
Условие. Найдите произведение AB матриц 2×2; строки перечислены в списках. A = [[2, 1], [2, -1]], B = [[1, 2], [0, 2]].
Берём строки A и столбцы B, не меняя матрицы местами:
- Первая строка и первый столбец: 2 × 1 + 1 × 0 = 2.
- Первая строка и второй столбец: 2 × 2 + 1 × 2 = 6.
- Вторая строка и первый столбец: 2 × 1 + (-1) × 0 = 2.
- Вторая строка и второй столбец: 2 × 2 + (-1) × 2 = 2.
Ответ: AB = [[2, 6], [2, 2]].
Задачи для самостоятельной работы
В каждом пункте найдите произведение AB матриц 2×2; строки перечислены в списках. Запишите четыре суммы, прежде чем сверяться с ключом.
3. A = [[3, 1], [2, -1]], B = [[1, 3], [0, 2]].
4. A = [[4, 1], [2, -1]], B = [[1, 4], [0, 2]].
5. A = [[5, 1], [2, -1]], B = [[1, 5], [0, 2]].
6. A = [[6, 1], [2, -1]], B = [[1, 6], [0, 2]].
7. A = [[7, 1], [2, -1]], B = [[1, 7], [0, 2]].
8. A = [[8, 1], [2, -1]], B = [[1, 8], [0, 2]].
Ключ: проверка каждой клетки
В каждой строке вычисления идут в порядке: верхняя левая, верхняя правая, нижняя левая, нижняя правая клетка.
3. 3 × 1 + 1 × 0 = 3; 3 × 3 + 1 × 2 = 11; 2 × 1 + (-1) × 0 = 2; 2 × 3 + (-1) × 2 = 4. Ответ: [[3, 11], [2, 4]].
4. 4 × 1 + 1 × 0 = 4; 4 × 4 + 1 × 2 = 18; 2 × 1 + (-1) × 0 = 2; 2 × 4 + (-1) × 2 = 6. Ответ: [[4, 18], [2, 6]].
5. 5 × 1 + 1 × 0 = 5; 5 × 5 + 1 × 2 = 27; 2 × 1 + (-1) × 0 = 2; 2 × 5 + (-1) × 2 = 8. Ответ: [[5, 27], [2, 8]].
6. 6 × 1 + 1 × 0 = 6; 6 × 6 + 1 × 2 = 38; 2 × 1 + (-1) × 0 = 2; 2 × 6 + (-1) × 2 = 10. Ответ: [[6, 38], [2, 10]].
7. 7 × 1 + 1 × 0 = 7; 7 × 7 + 1 × 2 = 51; 2 × 1 + (-1) × 0 = 2; 2 × 7 + (-1) × 2 = 12. Ответ: [[7, 51], [2, 12]].
8. 8 × 1 + 1 × 0 = 8; 8 × 8 + 1 × 2 = 66; 2 × 1 + (-1) × 0 = 2; 2 × 8 + (-1) × 2 = 14. Ответ: [[8, 66], [2, 14]].
Как найти ошибку в ответе
Не умножайте две строки друг на друга. Например, для верхней правой клетки в задаче 3 нужна первая строка A и второй столбец B: 3 × 3 + 1 × 2 = 11. Если вышло другое число, проверьте, не взяли ли вы вместо столбца вторую строку B.
Если трудно разобраться, что именно нужно найти по записи условия, прочитайте статью «Ребёнок не понимает условие задачи: как помочь разобраться».