Два угла по 30° и равные противоположные стороны

Теорема синусов: сторона по двум углам и одной стороне

Опубликовано ·

Чтобы найти сторону по двум углам и известной стороне, составьте отношение каждой стороны к синусу противолежащего угла. Затем выразите неизвестную сторону и подставьте значения синусов.

В этих задачах сторона BC лежит напротив угла A, а сторона AC — напротив угла B. По теореме синусов их отношения к синусам противолежащих углов равны:

BC / sin A = AC / sin B.

Как записать решение

Буквы A, B и C обозначают вершины и соответствующие углы треугольника; BC и AC — длины сторон. Углы измеряются в градусах, стороны в условиях ниже — в сантиметрах. Запись sin A означает синус угла A.

Действуйте по порядку:

  1. Найдите третий угол: C = 180° − A − B. Он должен быть больше нуля.
  2. Сопоставьте каждой стороне угол напротив неё: BC — угол A, AC — угол B.
  3. Выразите искомую сторону: AC = BC · sin B / sin A.
  4. Подставьте числа, вычислите и запишите единицу длины.
  5. Проверьте, правдоподобен ли ответ: напротив большего угла лежит большая сторона, напротив равных углов — равные стороны.

Во всех упражнениях заданы два угла. Поэтому третий угол определяется однозначно; случай с двумя сторонами и возможной неоднозначностью здесь не рассматривается.

Для вычислений пригодятся значения: sin 30° = 1/2, sin 45° = √2/2, sin 60° = √3/2, sin 90° = 1. Кроме того, sin 120° = √3/2.

Пример 1. Прямой угол

В треугольнике ABC угол A = 30°, B = 90°, а сторона BC напротив A равна 6 см. Найдите сторону AC напротив B.

Третий угол C = 180° − 30° − 90° = 60°. Он положителен, значит, заданные углы подходят для треугольника.

Подставим данные в формулу:

AC = 6 · sin 90° / sin 30° = 6 · 1 / (1/2) = 12 см.

Ответ: 12 см. Угол B больше угла A, поэтому AC должна быть больше BC. Полученные 12 см больше 6 см.

Пример 2. Равные углы

В треугольнике ABC угол A = 30°, B = 30°, а сторона BC напротив A равна 8 см. Найдите сторону AC напротив B.

Сначала найдём C: 180° − 30° − 30° = 120°. Теперь используем отношение сторон к синусам:

AC = 8 · sin 30° / sin 30° = 8 · 1 = 8 см.

Ответ: 8 см. Проверка: углы A и B равны, значит, равны и противолежащие им стороны BC и AC.

Шесть задач для самостоятельного решения

В каждой задаче найдите угол C, запишите отношение BC / sin A = AC / sin B и вычислите AC. Сначала решите все задания, затем сверьтесь с ключом.

  1. В треугольнике ABC угол A = 30°, B = 120°, а сторона BC напротив A равна 5 см. Найдите сторону AC напротив B.
  2. В треугольнике ABC угол A = 45°, B = 90°, а сторона BC напротив A равна 7 см. Найдите сторону AC напротив B.
  3. В треугольнике ABC угол A = 60°, B = 60°, а сторона BC напротив A равна 9 см. Найдите сторону AC напротив B.
  4. В треугольнике ABC угол A = 30°, B = 60°, а сторона BC напротив A равна 4 см. Найдите сторону AC напротив B.
  5. В треугольнике ABC угол A = 45°, B = 45°, а сторона BC напротив A равна 12 см. Найдите сторону AC напротив B.
  6. В треугольнике ABC угол A = 30°, B = 90°, а сторона BC напротив A равна 10 см. Найдите сторону AC напротив B.

Ответы и короткие проверки

  1. 5√3 см. C = 30°; AC = 5 · (√3/2) / (1/2) = 5√3 см. Угол B больше A, и найденная сторона больше 5 см.
  2. 7√2 см. C = 45°; AC = 7 · 1 / (√2/2) = 7√2 см. Сторона напротив прямого угла больше стороны BC.
  3. 9 см. C = 60°; отношение синусов равно 1. Равным углам A и B соответствуют равные стороны.
  4. 4√3 см. C = 90°; AC = 4 · (√3/2) / (1/2) = 4√3 см. Угол B больше A, поэтому AC больше 4 см.
  5. 12 см. C = 90°; отношение одинаковых синусов равно 1. Равные углы дают равные противолежащие стороны.
  6. 20 см. C = 60°; AC = 10 · 1 / (1/2) = 20 см. Сторона AC больше BC, как и должно быть при B > A.

Где чаще ошибаются

Ставят рядом сторону и прилежащий угол. В формуле нужна пара «сторона — угол напротив». Например, BC соединяет вершины B и C, поэтому напротив неё находится A. Проверьте обе пары до подстановки чисел.

Переворачивают отношение синусов. В выражении для AC сверху стоит sin B, потому что B — угол напротив искомой стороны. Если результат противоречит сравнению углов и сторон, вернитесь к исходному равенству и выразите AC заново.

Принимают синус угла 120° за отрицательное число. Для этой задачи sin 120° = sin 60° = √3/2. Сам угол остаётся равным 120°; заменяется только значение синуса при вычислении.

Теряют единицу измерения или корень. Множитель √2 или √3 входит в точный ответ, а сантиметры показывают, что найдена длина. Округлять ответ без требования условия не нужно.

Если готовитесь к экзамену и хотите включить такие решения в общую работу с чертежами и доказательствами, пригодится материал «Подготовка к ОГЭ по геометрии: чертежи, свойства и доказательства».