Если справа от модуля стоит число, сначала посмотрите на его знак. Модуль не бывает отрицательным: у |f(x)| = −3 решений нет. Если справа ноль, решайте f(x) = 0. Если справа положительное число c, рассмотрите два равенства: f(x) = c и f(x) = −c.
Когда справа выражение с x, добавьте ещё одну проверку: при найденном x правая часть должна быть неотрицательной. Проще всего завершать каждый пример подстановкой в исходное уравнение. Тогда видно и значение модуля, и знак правой части.
Что означает запись с вертикальными чертами
| a | — расстояние от числа a до нуля. Поэтому | 7 | = 7 и | −7 | = 7, а | 0 | = 0. В уравнении | 3x − 5 | = 7 выражение внутри черт может равняться как 7, так и −7. Здесь две возможности для значения выражения 3x − 5; число различных ответов x заранее обещать нельзя. |
|---|
Запись |x| в этом уроке относится к абсолютной величине числа. Она не означает сравнение остатков при делении, которое иногда тоже называют «по модулю». Если в условии стоят вертикальные черты, работайте со знаком числа внутри них и со значением справа от равенства.
Полезная привычка — сначала мысленно убрать x и спросить: «Может ли модуль вообще равняться правой части?» Для |2x − 1| = −3 ответ сразу «нет», сколько бы ни менялся x. Раскрывать черты и решать две ветви здесь незачем.
Когда справа положительное число
Решим |3x − 5| = 7. Правая часть положительна, значит, разбираем оба возможных значения выражения под модулем.
Первая ветвь: 3x − 5 = 7. Тогда 3x = 12 и x = 4.
Вторая ветвь: 3x − 5 = −7. Тогда 3x = −2 и x = −2/3.
Проверим ответы в исходной записи. При x = 4 получаем |12 − 5| = |7| = 7. При x = −2/3 получаем |−2 − 5| = |−7| = 7. Ответ: 4 и −2/3.
Не заменяйте две ветви одной записью 3x − 5 = 7 с мыслью, что «модуль просто убирает минус». Так потеряется −2/3. И не ставьте минус перед всем уравнением: меняется возможный знак выражения внутри модуля, а число 7 справа остаётся тем же.
Для дополнительной самопроверки можно посмотреть, какие числа оказались внутри черт. В этом примере это 7 и −7, и оба дают модуль 7. Такой короткий просмотр помогает заметить ошибку со знаком ещё до записи ответа.
Когда справа ноль или отрицательное число
Рассмотрим |x + 4| = 0. Расстояние до нуля равно нулю только у самого нуля, поэтому x + 4 = 0 и x = −4. Проверка: |−4 + 4| = 0. Вторую ветвь писать не нужно: уравнения x + 4 = 0 и x + 4 = −0 совпадают.
Теперь |2x − 1| = −3. Левая часть при любом действительном x неотрицательна, а правая равна −3. Равенство невозможно; ответ — решений нет. Попытка механически составить ветви 2x − 1 = −3 и 2x − 1 = 3 даст числа, но ни одно из них не превратит модуль в −3.
Эти два случая удобно отмечать в начале решения одной строкой. Так вы не тратите время на лишние вычисления и сразу объясняете, почему ветви нужны или не нужны.
Когда справа стоит выражение с x
Для |f(x)| = g(x) постоянного знака справа уже нет. Значение g(x) зависит от ответа, который вы получите. Можно решать равенства f(x) = g(x) и f(x) = −g(x), но каждый кандидат оставляйте только при g(x) ≥ 0 и верной подстановке.
Разберём |x − 2| = x. Правая часть требует x ≥ 0.
Первая ветвь: x − 2 = x. После вычитания x получаем −2 = 0, поэтому решений в этой ветви нет.
Вторая ветвь: x − 2 = −x. Тогда 2x = 2 и x = 1. Условие x ≥ 0 выполнено. Подстановка даёт |1 − 2| = 1, то есть 1 = 1. Ответ: x = 1.
Можно проверить себя другим способом: взять знак выражения x − 2. При x < 2 оно отрицательно, и модуль равен 2 − x; уравнение 2 − x = x снова даёт x = 1, который попадает в случай x < 2. При x ≥ 2 модуль равен x − 2, а равенство x − 2 = x невозможно. Такой разбор особенно полезен, если внутри и справа стоят выражения, где легко забыть ограничения ветви.
Для примера |x − 3| = x + 1 правая часть требует x ≥ −1. Если раскрыть обе ветви, из x − 3 = x + 1 выйдет неверное −3 = 1. Из x − 3 = −x − 1 получим 2x = 2, то есть x = 1. Проверка: |1 − 3| = 2 и 1 + 1 = 2. Здесь ограничение не отбросило найденное значение, но выписать его всё равно нужно: в другом уравнении оно может оказаться решающим.
Если после раскрытия модуля получилось квадратное уравнение
Схема остаётся прежней: сначала определите знак справа, потом решите возможные равенства. Возьмём |x² − 5| = 4. Число 4 положительно, поэтому:
- x² − 5 = 4, откуда x² = 9 и x = −3 или x = 3;
- x² − 5 = −4, откуда x² = 1 и x = −1 или x = 1.
Подставим значения выражения под модулем: при ±3 оно равно 4, при ±1 равно −4. Во всех четырёх случаях модуль равен 4. Ответ: −3, −1, 1, 3.
Здесь важно довести каждую ветвь до всех её корней. Если квадратное уравнение возникло после замены переменной и обратный переход оказался сложнее, пригодится разбор уравнений, сводящихся к квадратным: замены переменной и проверки.
Как записать решение без пропусков
Для уравнения с одним модулем держите перед глазами короткий порядок действий. Сначала установите, возможно ли значение справа: отрицательная постоянная сразу исключается, а выражение с x задаёт ограничение на x. Затем составьте нужные ветви и решите каждую до конца. Наконец, подставьте кандидатов в первоначальную запись и соберите ответ без повторов.
Например, в |2x + 1| = 5 первая ветвь даёт 2x + 1 = 5, то есть x = 2. Вторая даёт 2x + 1 = −5, то есть x = −3. Проверка выглядит так: |2 · 2 + 1| = 5 и |2 · (−3) + 1| = 5. Если при вычислении одной ветви получится то же x, запишите это число в ответе один раз.
Для проверки полезно подставлять число именно вместо x в исходную запись, сохраняя черты модуля. Подстановка только в уже раскрытую ветвь подтверждает ваши вычисления в ветви, но не заменяет проверку исходного равенства, особенно при переменной справа.
Упражнения
Решите уравнения. Для каждого запишите, почему нужны две ветви, одна ветвь или ни одной, а найденные значения проверьте в исходной записи.
1. |2x + 3| = 9.
2. |5 − x| = 0.
3. |4x + 1| = −2.
4. |x + 1| = x + 3.
5. |x² − 1| = 3.
6. |2x − 3| = x.
Ключ с полным разбором
1. Справа положительное число. Из 2x + 3 = 9 получаем x = 3; из 2x + 3 = −9 получаем x = −6. Проверка: |2 · 3 + 3| = 9, |2 · (−6) + 3| = |−9| = 9. Ответ: −6 и 3.
2. Справа ноль, поэтому 5 − x = 0 и x = 5. Подстановка даёт |5 − 5| = 0. Ответ: 5.
3. Модуль не может равняться −2. Действительных решений нет; составлять ветви не требуется.
4. Необходимо x + 3 ≥ 0, то есть x ≥ −3. Первая ветвь x + 1 = x + 3 приводит к неверному 1 = 3. Вторая: x + 1 = −x − 3, откуда 2x = −4 и x = −2. Ограничение выполнено. Проверка: |−2 + 1| = 1, а −2 + 3 = 1. Ответ: −2.
5. Справа 3 > 0. Из x² − 1 = 3 получаем x² = 4, то есть x = −2 или 2. Из x² − 1 = −3 получаем x² = −2; действительных корней у этой ветви нет. При x = ±2 выражение x² − 1 равно 3, его модуль тоже 3. Ответ: −2 и 2.
6. Правая часть требует x ≥ 0. Из 2x − 3 = x следует x = 3. Из 2x − 3 = −x следует 3x = 3 и x = 1. Оба значения неотрицательны. Проверка: |2 · 3 − 3| = 3 и |2 · 1 − 3| = 1. Ответ: 1 и 3.