В показательном уравнении неизвестное стоит в показателе степени: например, 3^x = 9. Сначала попробуйте записать обе части как степени одного числа. Если степеней несколько, проверьте, можно ли вынести одну из них за скобки. Когда в уравнении встречаются a^(2x) и a^x, часто помогает замена t = a^x с обязательным условием t > 0.
Самый короткий пример: 3^x = 27, а 27 = 3³. Значит, 3^x = 3³ и x = 3. Ниже разберём, как выбрать действие в менее очевидных случаях и как проверить ответ.
Сначала узнайте тип уравнения
Посмотрите, где находится x. В записи 5^(x+1) неизвестное входит в показатель — это показательное уравнение. В записи x³ = 8 неизвестное находится в основании, и приёмы этой статьи здесь не нужны.
Теперь сравните степени в уравнении.
- Если слева и справа по одной степени, ищите общее основание. Например, 8 можно записать как 2³, а 9 — как 3².
- Если степени складываются или вычитаются, посмотрите, есть ли у них общий множитель: 2^(x+2) = 4·2^x.
- Если рядом стоят, например, 9^x и 3^x, запишите 9^x как (3^x)². Тогда можно заменить повторяющееся 3^x буквой t.
Перед вычислениями полезно проверить ещё одну вещь. Степень положительного числа всегда положительна. Поэтому уравнение 4^x = 0 или 4^x = −7 решений не имеет. Здесь не требуется подбирать x: никакое его значение не сделает левую часть нулевой или отрицательной.
Шаг 1. Приведите обе части к одному основанию
Если основание одно и то же, показатели можно приравнять. Так, из 7^(x−2) = 7⁴ следует x−2 = 4. Это работает для постоянного положительного основания, которое не равно 1. Основание 1 не подходит: 1 в любой степени остаётся единицей и не позволяет определить показатель.
Решим 3^(x−1) = 27.
- Представим правую часть степенью тройки: 27 = 3³.
- Получим 3^(x−1) = 3³.
- Приравняем показатели: x−1 = 3.
- Ответ: x = 4.
Проверка занимает одну строку: 3^(4−1) = 3³ = 27. Она помогает заметить ошибку со знаком или сложением, хотя само обоснование решения здесь уже дано равенством показателей.
Дробное основание тоже допустимо. Рассмотрим (1/2)^(x+2) = 8. Восьмёрку удобно записать как степень одной второй: 8 = (1/2)^(−3). Тогда x+2 = −3, откуда x = −5. При подстановке показатель равен −3, а (1/2)^(−3) = 8.
Не пытайтесь приравнивать показатели, пока основания выглядят одинаковыми лишь на первый взгляд. Из 2^x = 4^(x−1) нельзя сразу написать x = x−1. Сначала преобразуйте 4^(x−1) в 2^(2x−2). Теперь основания действительно совпадают: x = 2x−2, значит, x = 2. Подстановка подтверждает: 2² = 4 и 4^(2−1) = 4.
Шаг 2. Вынесите повторяющуюся степень
Уравнение 2^(x+2) + 2^x = 40 содержит две степени с одним основанием. Показатели различаются на 2, поэтому 2^(x+2) = 2^x·2² = 4·2^x. Теперь видно общее выражение:
4·2^x + 2^x = 40,
5·2^x = 40,
2^x = 8,
x = 3.
Проверим исходное уравнение: 2^(3+2) + 2³ = 32 + 8 = 40.
Этот способ удобен, когда разница между показателями — постоянное число. Например, в выражении 5^(x+1) − 5^x можно вынести 5^x: получится 5^x(5−1). В выражении 3^(x−2) + 3^x тоже есть общий множитель 3^(x−2), потому что 3^x = 9·3^(x−2).
Выбирайте для вынесения ту степень, после которой в скобках останутся обычные числа. Не сокращайте уравнение на сумму степеней, если не доказали, что она не равна нулю. Надёжнее сначала явно записать преобразование и только затем делить обе части на известное ненулевое число.
Шаг 3. Замените степень переменной
Посмотрите на уравнение 9^x − 10·3^x + 9 = 0. Поскольку 9 = 3², имеем 9^x = 3^(2x) = (3^x)². Здесь дважды встречается одно выражение: 3^x и его квадрат.
Обозначим t = 3^x. Сразу запишем t > 0: положительная степень не может равняться нулю или отрицательному числу. Уравнение превращается в t² − 10t + 9 = 0. Его можно разложить на множители: (t−1)(t−9) = 0. Получаем t = 1 или t = 9. Оба значения положительны и подходят для обратной замены.
Вернёмся к x. Если 3^x = 1, то x = 0. Если 3^x = 9, то x = 2. Ответ: 0 и 2. Проверка в исходной записи:
- при x = 0: 9⁰ − 10·3⁰ + 9 = 1 − 10 + 9 = 0;
- при x = 2: 9² − 10·3² + 9 = 81 − 90 + 9 = 0.
Возврат от t к x — отдельная часть решения. Корни уравнения для t ещё не являются ответами для x. Если нужна помощь с разложением или отбором корней после замены, пригодится статья «Уравнения, сводящиеся к квадратным: замена переменной и проверка».
Иногда квадратное уравнение даёт значение, которое нельзя вернуть к показательной степени. Решим 4^x + 3·2^x − 4 = 0. Пусть t = 2^x > 0. Тогда 4^x = t² и получаем t² + 3t − 4 = 0, или (t−1)(t+4) = 0. Кандидаты: t = 1 и t = −4. Второй не подходит, потому что 2^x всегда положительно. Из 2^x = 1 находим x = 0. Проверка: 4⁰ + 3·2⁰ − 4 = 1 + 3 − 4 = 0.
Отбор по условию t > 0 важен даже тогда, когда отрицательный корень получился из вполне правильных вычислений. Ошибка возникает позже — если принять его за возможное значение степени.
Как понять, что решение закончено
После приведения к одному основанию запишите найденный x и подставьте его в исходное уравнение. После вынесения множителя сделайте то же самое: при раскрытии скобок легко потерять коэффициент. После замены выполните три действия в порядке: решите уравнение для t, исключите значения t ≤ 0, вернитесь от каждого оставшегося t к x.
Подстановка найденных x проверяет арифметику. Чтобы быть уверенным, что другие корни не потеряны, проследите также за самим ходом решения: все ли преобразования допустимы, все ли корни уравнения для t рассмотрены и все ли подходящие значения t возвращены к x. Одной проверки подстановкой для этого недостаточно.
Особенно часто ошибаются в двух местах. Первое — неверно переписывают степень: 6^(x+1) равно 6·6^x, а не 6^x + 6. Второе — забывают ограничение при замене и пытаются решить, например, 2^x = −3. Если основание положительно, такого x нет.
Попробуйте решить самостоятельно
Во всех заданиях основание степени постоянно и положительно. Для каждого уравнения сначала выберите приём, затем найдите x. Проверьте ответ подстановкой в исходную запись.
- 5^(x−2) = 125.
- (1/3)^(x+1) = 27.
- 3^(x+1) + 3^x = 36.
- 2^(x+3) − 2^x = 56.
- 25^x − 6·5^x + 5 = 0.
- 4^x + 2^x − 6 = 0.
Ключ с решением
1. 125 = 5³, поэтому x−2 = 3 и x = 5. Проверка: 5^(5−2) = 125.
2. 27 = (1/3)^(−3). Значит, x+1 = −3 и x = −4. Проверка: (1/3)^(−4+1) = (1/3)^(−3) = 27.
3. 3^(x+1) = 3·3^x. Тогда 4·3^x = 36, откуда 3^x = 9 и x = 2. Проверка: 3³ + 3² = 27 + 9 = 36.
4. 2^(x+3) = 8·2^x. Получаем 7·2^x = 56, затем 2^x = 8 и x = 3. Проверка: 2⁶ − 2³ = 64 − 8 = 56.
5. Обозначим t = 5^x > 0. Тогда 25^x = t² и t² − 6t + 5 = 0. Разложение (t−1)(t−5) = 0 даёт t = 1 или t = 5. Обратная замена: 5^x = 1 при x = 0, а 5^x = 5 при x = 1. Оба корня подходят: при x = 0 получаем 1 − 6 + 5 = 0; при x = 1 получаем 25 − 30 + 5 = 0.
6. Пусть t = 2^x > 0. Тогда 4^x = t², а уравнение принимает вид t² + t − 6 = 0. Из (t+3)(t−2) = 0 получаем t = −3 или t = 2. Значение −3 исключаем: степень 2^x положительна. Из 2^x = 2 следует x = 1. Проверка: 4¹ + 2¹ − 6 = 0.
Если в собственном решении получился другой ответ, найдите первое место, где ваши строки расходятся с ключом. Обычно это преобразование степени, знак при переносе слагаемого или обратная замена. Исправив именно этот шаг, решите уравнение заново — так будет видно, что приём понятен, а не просто запомнен ответ.