При переводе площади коэффициент перевода длины возводят в квадрат, а при переводе объёма — в куб. Поэтому квадратный метр содержит не 100, а 10 000 квадратных сантиметров.
Для литров удобно помнить связь с объёмом: 1 л = 1 дм³ = 1000 см³. Ниже — два разбора и шесть задач, в которых можно применить эти соотношения.
Почему появляются квадрат и куб
Метр и сантиметр измеряют длину: 1 м = 100 см. Квадратный метр, обозначаемый м², — единица площади. У квадрата со стороной 1 м обе стороны равны 100 см, поэтому его площадь равна:
100 см · 100 см = 10 000 см².
Кубический метр, или м³, — единица объёма. У куба с ребром 1 м три измерения по 100 см. Значит:
100 см · 100 см · 100 см = 1 000 000 см³.
Показатель ² относится к двум множителям длины, а ³ — к трём. Само число при единице не возводится в степень: при переводе 3 м² в см² в квадрат возводят коэффициент 100, а затем умножают результат на 3.
Перевод единиц через отношения и связь литра с кубическим дециметром описаны в учебнике OpenStax.
Для обратного перевода используют те же соотношения: из более крупных единиц в более мелкие умножают, из более мелких в более крупные — делят. При этом число меняется, но сама площадь или объём остаётся прежним.
Два разбора перевода площади
Пример 1. Из м² в см²
Переведите 3 м² в см².
- Записываем связь единиц длины: 1 м = 100 см.
- Для площади возводим коэффициент в квадрат: 1 м² = 100² см² = 10 000 см².
- Умножаем исходное число на 10 000: 3 · 10 000 = 30 000.
Ответ: 30 000 см². Проверка обратным действием: 30 000 : 10 000 = 3 м².
Пример 2. Из см² в м²
Переведите 25 000 см² в м².
В одном квадратном метре 10 000 см², поэтому делим исходное число на 10 000:
25 000 : 10 000 = 5/2.
Ответ: 5/2 м², или 2,5 м². Проверка: 5/2 · 10 000 = 25 000 см².
Здесь деление связано с направлением перевода: квадратный метр крупнее квадратного сантиметра. Одну и ту же площадь в квадратных метрах выражает меньшее число.
Как работать с объёмом и литрами
Для кубических сантиметров и метров используйте коэффициент 1 000 000: он получается из 100³. В переводах между литрами и кубическими сантиметрами используйте 1000, поскольку 1 л = 1 дм³, а 1 дм = 10 см.
Для перевода кубических метров в литры сначала учтите, что 1 м = 10 дм. Тогда 1 м³ = 10³ дм³ = 1000 дм³, то есть 1000 л.
Перед вычислением запишите рядом исходную и нужную единицы. Проверьте показатель: м² относится к площади, а м³ — к объёму. Переводить м² непосредственно в литры нельзя: эти единицы описывают разные величины.
Шесть задач для самостоятельной работы
В каждой задаче запишите соотношение единиц, выполните действие и укажите единицу в ответе. Затем сверьтесь с ключом.
- Переведите 2 м³ в см³.
- Переведите 750 000 см³ в м³.
- Переведите 0,35 м² в см².
- Переведите 0,25 м³ в л.
- Переведите 4,8 л в см³.
- Переведите 3600 см³ в л.
Если трудно определить, что дано и какую единицу нужно получить, поможет разбор как помочь ребёнку, который не понимает условие задачи.
Ключ и короткие проверки
- 2 000 000 см³. 2 · 1 000 000 = 2 000 000. Обратно: 2 000 000 : 1 000 000 = 2 м³.
- 3/4 м³. 750 000 : 1 000 000 = 3/4. Обратно: 3/4 · 1 000 000 = 750 000 см³.
- 3500 см². 0,35 · 10 000 = 3500. Обратно: 3500 : 10 000 = 0,35 м².
- 250 л. 0,25 · 1000 = 250, поскольку 1 м³ = 1000 л. Обратно: 250 : 1000 = 0,25 м³.
- 4800 см³. 4,8 · 1000 = 4800, поскольку 1 л = 1000 см³. Обратно: 4800 : 1000 = 4,8 л.
- 18/5 л, или 3,6 л. 3600 : 1000 = 18/5. Обратно: 18/5 · 1000 = 3600 см³.
Где чаще ошибаются
- Умножают площадь на 100. Это коэффициент для длины в метрах и сантиметрах; для площади нужен его квадрат.
- Применяют квадратный коэффициент к объёму. Для м³ и см³ нужно учитывать три измерения и использовать 100³.
- Делят при переходе к более мелким единицам. Проверьте направление: мелких единиц в той же величине будет больше.
- Записывают число без единицы или теряют показатель. Ответы в см, см² и см³ обозначают разные величины. Сверьте единицу ответа с вопросом задачи.