Объём пирамиды равен произведению площади основания на высоту, делённому на три. Если известны объём и одна из остальных величин, из той же формулы можно найти недостающую.
Ниже — два разбора и шесть задач, в которых площадь основания, высота или объём уже даны. Дополнительные построения и вычисление площади по сторонам не понадобятся.
Формула и обозначения
Формула объёма пирамиды: V = S · h / 3, где V — объём, S — площадь основания, h — высота, перпендикулярная плоскости основания. Формула приведена в материале Maths Is Fun о пирамидах.
Чтобы найти другую величину, выразим её из формулы:
- высота: h = 3V / S;
- площадь основания: S = 3V / h.
В этих задачах длина указана в сантиметрах, площадь — в квадратных сантиметрах, объём — в кубических. Перед подстановкой отметьте, какую величину требуется найти: от этого зависит выбор записи.
Разбор 1. Находим объём
Для пирамиды даны S основания = 18 см², h = 9 см. Высота перпендикулярна плоскости основания. Найдите V.
Подставим площадь и высоту в формулу объёма:
V = 18 · 9 / 3 = 54 см³.
Ответ: 54 см³.
Проверим обратным вычислением высоты: h = 3 · 54 / 18 = 9 см. Получилась высота из условия. Можно проверить и площадь: S = 3 · 54 / 9 = 18 см².
Разбор 2. Находим высоту
Для пирамиды даны V = 96 см³, S основания = 24 см². Высота перпендикулярна плоскости основания. Найдите h.
На этот раз неизвестная величина — высота. Используем формулу h = 3V / S:
h = 3 · 96 / 24 = 12 см.
Ответ: 12 см.
Подставим результат в исходную формулу: V = 24 · 12 / 3 = 96 см³. Объём совпал с данным в условии.
Где легко ошибиться
Типичная ошибка при поиске объёма — перемножить площадь и высоту и забыть разделить произведение на три. Чтобы её заметить, после вычисления подставьте ответ в одну из обратных формул: должна получиться величина из условия.
Следите и за единицами. Площадь выражается в см², высота — в см, а объём — в см³. Число с неверной единицей не отвечает на вопрос задачи: например, высоту нельзя записывать в квадратных сантиметрах.
Шесть задач для решения
В каждой задаче высота пирамиды перпендикулярна плоскости основания.
- Даны V = 60 см³, h = 6 см. Найдите S основания.
- Даны S основания = 42 см², h = 15 см. Найдите V.
- Даны V = 96 см³, S основания = 36 см². Найдите h.
- Даны V = 300 см³, h = 18 см. Найдите S основания.
- Даны S основания = 28 см², h = 9 см. Найдите V.
- Даны V = 140 см³, S основания = 60 см². Найдите h.
Запишите подходящую формулу, подставьте данные и укажите единицу ответа. Затем проверьте найденную величину по исходной формуле объёма или обратным вычислением.
Ответы и проверка
1. Площадь основания: S = 3 · 60 / 6 = 30 см². Проверка: V = 30 · 6 / 3 = 60 см³.
2. Объём: V = 42 · 15 / 3 = 210 см³. Проверка: h = 3 · 210 / 42 = 15 см.
3. Высота: h = 3 · 96 / 36 = 8 см. Проверка: V = 36 · 8 / 3 = 96 см³.
4. Площадь основания: S = 3 · 300 / 18 = 50 см². Проверка: V = 50 · 18 / 3 = 300 см³.
5. Объём: V = 28 · 9 / 3 = 84 см³. Проверка: h = 3 · 84 / 28 = 9 см.
6. Высота: h = 3 · 140 / 60 = 7 см. Проверка: V = 60 · 7 / 3 = 140 см³.
Если вычисления не совпали с ключом, вернитесь к строке с формулой: при поиске высоты или площади объём сначала умножают на три, а затем делят на известную величину. При поиске объёма, наоборот, произведение площади и высоты делят на три.
Для дальнейшей работы с геометрическими задачами пригодится статья «Подготовка к ОГЭ по геометрии: чертежи, свойства и доказательства».