Чтобы узнать, сколько процентов одно число составляет от другого, первое число делят на второе и умножают результат на 100%. Важно сразу определить, от какого числа считают процент: оно будет в знаменателе дроби и обозначает 100%.
Например, если в условии названы «часть» и «целое», обычно сравнивают часть с целым. Но ориентироваться только на размер чисел нельзя: в вопросе «сколько процентов одно число составляет от другого» основание задаёт слово «от». Поменять числа местами — значит решить другую задачу.
Как составить процентное отношение
Запишите правило так:
P = a / b × 100%, где a — число, процент которого ищут, b — число, с которым его сравнивают, а P — искомое процентное отношение. Число b должно быть не равно нулю: на ноль делить нельзя.
В этой записи дробь a / b показывает отношение чисел. Умножение на 100 переводит отношение в проценты. Процент — это сотая доля, поэтому ответ 25% означает 25 сотых от числа, принятого за 100%. Это не отдельное действие над исходными числами, а другой способ записать найденное отношение.
Правило удобно применять в одном и том же порядке:
- Прочитайте вопрос и назовите число, принятое за 100%.
- Поставьте это число в знаменатель дроби.
- Поставьте сравниваемое число в числитель.
- Разделите и умножьте на 100%.
- Проверьте, соответствует ли ответ смыслу условия.
Определение процента и работа с основанием объясняются в открытом учебнике OpenStax; задачи ниже составлены для этой статьи.
Пример 1. Часть составляет десятую долю целого
Условие. В математической задаче целое равно 80, а его часть — 8. Сколько процентов от целого составляет эта часть?
За 100% принимаем 80. Число 8 — часть, процент которой требуется найти. Поэтому делим 8 на 80, а не наоборот:
8 / 80 × 100% = 10%.
Ответ: 10%. Проверка здесь особенно проста: 8 составляет десятую долю от 80, а десятая доля — это 10%. Если при вычислении получилось число значительно больше 100%, стоит проверить порядок чисел в дроби: часть меньше целого.
Пример 2. Основание удобно делить на сто
Условие. В математической задаче целое равно 100, а его часть — 15. Сколько процентов от целого составляет эта часть?
Целое снова служит основанием, то есть соответствует 100%. Записываем:
15 / 100 × 100% = 15%.
Ответ: 15%. Когда целое равно 100, численное значение части и ответ в процентах совпадают. Это удобный частный случай, но не новое правило. Если целое другое, нельзя просто приписать к числу части знак процента: сначала нужно найти отношение.
Пример 3. Сначала сократите дробь
Условие. В математической задаче целое равно 120, а его часть — 24. Сколько процентов от целого составляет эта часть?
Число 120 ставим в знаменатель. Можно сразу считать по правилу, а можно сначала заметить, что дробь 24 / 120 сокращается до 1 / 5:
24 / 120 × 100% = 20%.
Ответ: 20%. Сокращение облегчает счёт, но не меняет смысла дроби. В числителе по-прежнему стоит часть, а в знаменателе — целое. Такой порядок записи помогает не перепутать отношение, даже если вычисление выполняется устно.
Как проверить найденный процент
У вычисления есть обратная проверка: найдите указанный процент от основания. Если получилось исходное сравниваемое число, отношение составлено верно. Для первого примера 10% от 80 равны 8; для второго 15% от 100 равны 15; для третьего 20% от 120 равны 24. Так можно проверить не только арифметику, но и выбор основания.
Полезна и предварительная оценка. Если часть меньше целого и оба числа положительны, ответ должен быть меньше 100%. Если часть равна целому, отношение равно 100%. Оценка не заменяет вычисление: она лишь позволяет заметить явно неподходящий результат. Особенно это помогает, когда при делении числа случайно поменяли местами.
Записывайте рядом с вычислением, что означает знаменатель. Пометка «100% — это целое» короткая, но снимает главную неоднозначность. В задачах с длинным текстом сначала можно выписать два нужных числа и подписать их словами, а уже потом составлять дробь. Если трудно отделить данные от вопроса, пригодится разбор ситуации, когда ребёнок не понимает условие задачи.
Восемь задач на процентное отношение
Решите каждую задачу по формуле часть / целое × 100%. Перед вычислением отметьте число, которое принимаете за 100%. Ответы с действиями приведены после всех условий.
- В математической задаче целое равно 140, а его часть — 35. Сколько процентов от целого составляет эта часть?
- В математической задаче целое равно 160, а его часть — 48. Сколько процентов от целого составляет эта часть?
- В математической задаче целое равно 180, а его часть — 63. Сколько процентов от целого составляет эта часть?
- В математической задаче целое равно 200, а его часть — 80. Сколько процентов от целого составляет эта часть?
- В математической задаче целое равно 220, а его часть — 99. Сколько процентов от целого составляет эта часть?
- В математической задаче целое равно 240, а его часть — 120. Сколько процентов от целого составляет эта часть?
- В математической задаче целое равно 260, а его часть — 143. Сколько процентов от целого составляет эта часть?
- В математической задаче целое равно 280, а его часть — 168. Сколько процентов от целого составляет эта часть?
Ответы с вычислениями
- 25%. Основание — 140: 35 / 140 × 100% = 25%. Проверка: четверть от 140 равна 35.
- 30%. Основание — 160: 48 / 160 × 100% = 30%. В дроби 48 стоит сверху, потому что ищем процент именно этого числа.
- 35%. Основание — 180: 63 / 180 × 100% = 35%. Полученное значение меньше 100%, как и должно быть для части, меньшей целого.
- 40%. Основание — 200: 80 / 200 × 100% = 40%. Здесь 80 сравнивается с 200, а не с сотней как отдельным числом из условия.
- 45%. Основание — 220: 99 / 220 × 100% = 45%. Если деление удобнее выполнить дробью, допустимо сократить её до умножения на 100%.
- 50%. Основание — 240: 120 / 240 × 100% = 50%. Часть равна половине целого, что согласуется с ответом.
- 55%. Основание — 260: 143 / 260 × 100% = 55%. Обратная проверка: 55% от 260 равны 143.
- 60%. Основание — 280: 168 / 280 × 100% = 60%. Обратная проверка: 60% от 280 равны 168.
Если ответ не совпал, проверьте действия в таком порядке: верно ли выбрано целое, не перевёрнута ли дробь, выполнено ли умножение на 100 и поставлен ли знак процента. Когда дробь записана правильно, ошибка обычно находится уже в делении или умножении.
Если нужно сначала потренироваться находить процент от числа, вернитесь к материалу «Проценты в 6 классе: как объяснить ребёнку две задачи». В этом практикуме задача другая: часть и целое известны, а найти нужно сам процент.