Чтобы разложить четыре слагаемых группировкой, объедините их попарно, вынесите общий множитель из каждой пары и найдите одинаковую скобку. Затем вынесите эту скобку за скобки.
В двух разборах и шести задачах ниже подходит группировка соседних слагаемых. Она опирается на распределительное свойство умножения; проверить результат можно обратным действием — раскрытием скобок. Общее правило описано в учебнике OpenStax.
Как читать запись
Буквы x и y обозначают числа. Запись x² означает x · x, а xy — произведение x и y. Число перед буквами — коэффициент: например, 3xy означает 3 · x · y. Если коэффициент равен единице, его обычно не пишут.
Знак перед слагаемым относится к нему при группировке. Так, в паре −3xy − 21y оба слагаемых отрицательные. Сначала найдите множитель, который есть в обоих, а затем проверьте, что умножение на вынесенный множитель возвращает исходную пару.
Разбор 1. Одинаковые скобки со знаком плюс
Разложите группировкой x² + 2x + 3xy + 6y на множители.
Объединим первые два и последние два слагаемых:
(x² + 2x) + (3xy + 6y).
В первой паре общий множитель — x, во второй — 3y:
x(x + 2) + 3y(x + 2).
Теперь в обоих слагаемых есть множитель x + 2. Вынесем его:
(x + 3y)(x + 2).
Проверка: x · x + x · 2 + 3y · x + 3y · 2 = x² + 2x + 3xy + 6y. Получились все четыре исходных слагаемых.
Разбор 2. Отрицательное слагаемое в скобке
Разложите группировкой x² − 3x + 2xy − 6y на множители.
Снова объединим соседние слагаемые и вынесем общие множители:
(x² − 3x) + (2xy − 6y) = x(x − 3) + 2y(x − 3).
Одинаковая скобка здесь — x − 3. Поэтому ответ:
(x + 2y)(x − 3).
Проверка: x · x − 3x + 2y · x − 6y = x² − 3x + 2xy − 6y. Знаки совпадают с условием.
На что обратить внимание
Типичная ошибка — вынести отрицательный множитель, но не изменить знаки внутри скобки. Например, в задаче 1 ниже из пары −2xy − 8y нужно вынести −2y. Тогда останется x + 4: произведение −2y · 4 даёт −8y. Скобка x − 4 здесь не подойдёт, потому что последнее произведение будет положительным.
Если после вынесения множителей скобки не совпали, проверьте каждую пару отдельно: умножьте вынесенный множитель на оба слагаемых в скобке. Это поможет найти ошибку до того, как вы запишете окончательный ответ.
Шесть задач для самостоятельной работы
В каждой задаче разложите выражение группировкой на множители.
- x² + 4x − 2xy − 8y.
- x² − 2x − 5xy + 10y.
- x² + 5x + 4xy + 20y.
- x² + 7x − 3xy − 21y.
- x² − 4x + 5xy − 20y.
- x² + 6x + xy + 6y.
Сначала запишите две пары и вынесите множитель из каждой. После получения ответа раскройте скобки и сравните результат с условием: должны совпасть и коэффициенты, и знаки всех четырёх слагаемых.
Ответы и проверка
1. x(x + 4) − 2y(x + 4) = (x − 2y)(x + 4). Проверка: x² + 4x − 2xy − 8y.
2. x(x − 2) − 5y(x − 2) = (x − 5y)(x − 2). Проверка: x² − 2x − 5xy + 10y.
3. x(x + 5) + 4y(x + 5) = (x + 4y)(x + 5). Проверка: x² + 5x + 4xy + 20y.
4. x(x + 7) − 3y(x + 7) = (x − 3y)(x + 7). Проверка: x² + 7x − 3xy − 21y.
5. x(x − 4) + 5y(x − 4) = (x + 5y)(x − 4). Проверка: x² − 4x + 5xy − 20y.
6. x(x + 6) + y(x + 6) = (x + y)(x + 6). Проверка: x² + 6x + xy + 6y.
Порядок множителей в ответе можно поменять: произведение от этого не изменится. Если результат не совпал с ключом, сначала проверьте промежуточные скобки, а не только последнюю строку.
Если ребёнку трудно выделить требуемое действие из формулировки, пригодятся советы из статьи «Ребёнок не понимает условие задачи: как помочь разобраться».