Путь при движении с разворотами находят, складывая длины всех пройденных участков. Проекцию перемещения находят иначе: из конечной координаты вычитают начальную, не складывая промежуточные координаты.
Путь не бывает отрицательным, а проекция перемещения может быть положительной, отрицательной или нулевой. Разберём два учебных примера, затем решим шесть задач на движение вдоль одной оси.
Что означают координаты и знаки
Представьте прямую с выбранным началом отсчёта и положительным направлением. Координата показывает положение тела относительно начала: положительные и отрицательные значения лежат по разные стороны от него. Например, координата −2 м означает положение на расстоянии 2 м от начала в отрицательном направлении.
В задачах ниже каждое движение между соседними указанными координатами считаем прямолинейным участком без дополнительных разворотов. Длину участка получаем как модуль разности его конечной и начальной координат. Модуль — это величина числа без знака: например, модуль −4 равен 4.
Для всего движения:
- Путь — сумма длин участков. Его обозначим S.
- Проекция перемещения на выбранную ось — конечная координата минус начальная: Δx = x конечная − x начальная. Здесь Δx читается как «изменение координаты».
Модуль проекции — число без её знака. В этих одномерных задачах он равен модулю перемещения, но не обязательно равен пути: при развороте тело проходит расстояние и в обратную сторону. Определения и формулы приведены в учебнике OpenStax.
Разбор 1. Сначала в положительном направлении, затем обратно
Условие. Тело движется вдоль оси. Последовательные координаты в метрах: −2, 7, 3. Найдите путь и проекцию перемещения.
- Первый участок начинается при −2 м и заканчивается при 7 м. Изменение координаты равно 7 − (−2) = 9 м, длина участка — 9 м.
- На втором участке координата меняется с 7 м до 3 м: 3 − 7 = −4 м. Знак минус показывает движение в отрицательном направлении, а длина участка равна 4 м.
- Складываем длины: S = 9 + 4 = 13 м.
- Для проекции перемещения берём только конечную и начальную координаты: Δx = 3 − (−2) = +5 м.
Ответ: путь 13 м, проекция перемещения +5 м. Модуль перемещения здесь равен 5 м. Он меньше пути, потому что после первого участка тело прошло часть расстояния обратно.
Проверка знака: конечная координата 3 м больше начальной −2 м, поэтому проекция положительна. Если получить −5 м, вероятно, начальная и конечная координаты перепутаны местами.
Разбор 2. Итоговая проекция отрицательна
Условие. Тело движется вдоль оси. Последовательные координаты в метрах: 5, −3, 2. Найдите путь и проекцию перемещения.
- На первом участке изменение координаты равно −3 − 5 = −8 м. Длина участка — 8 м.
- На втором участке изменение равно 2 − (−3) = +5 м. Длина участка — 5 м.
- Путь равен сумме длин: S = 8 + 5 = 13 м.
- Начальная координата — 5 м, конечная — 2 м. Проекция перемещения: Δx = 2 − 5 = −3 м.
Ответ: путь 13 м, проекция перемещения −3 м. Модуль перемещения равен 3 м. Отрицательный знак проекции показывает, что конечная координата меньше начальной, хотя на последнем участке тело двигалось в положительном направлении.
В обоих разборах путь одинаковый, но проекции различаются. Поэтому по одному только пути нельзя определить знак проекции перемещения.
Задачи для самостоятельной работы
В каждой задаче найдите две величины в метрах. Для пути учтите все соседние координаты, а для проекции перемещения сравните конечную с начальной.
1. Один разворот
Тело движется вдоль оси. Последовательные координаты в метрах: 0, 8, 3. Найдите путь и проекцию перемещения.
2. Три участка
Тело движется вдоль оси. Последовательные координаты в метрах: 4, 10, 7, 1. Найдите путь и проекцию перемещения.
3. Отрицательные координаты
Тело движется вдоль оси. Последовательные координаты в метрах: −5, −1, −7. Найдите путь и проекцию перемещения.
4. Возвращение к началу движения
Тело движется вдоль оси. Последовательные координаты в метрах: 2, −4, 2. Найдите путь и проекцию перемещения.
5. Движение без разворота
Тело движется вдоль оси. Последовательные координаты в метрах: 0, −6, −9. Найдите путь и проекцию перемещения.
6. Два разворота
Тело движется вдоль оси. Последовательные координаты в метрах: 3, 12, −2, 3. Найдите путь и проекцию перемещения.
Проверка перед ключом
Не складывайте изменения координаты со знаками, когда ищете путь: участки в противоположных направлениях могут взаимно сократиться. Для пути сначала найдите длину каждого участка — она неотрицательна.
Не приписывайте проекции знак направления последнего участка автоматически. Сравните конечную координату со стартовой: если конечная меньше, проекция отрицательна; если больше — положительна.
Если тело вернулось в исходную точку, проекция перемещения равна нулю. При этом путь может быть больше нуля: возвращение не отменяет пройденные участки. В одномерном движении модуль перемещения не должен превышать путь; нарушение этого условия указывает на ошибку в вычислениях.
Эти задачи можно включить в маршрут подготовки к ОГЭ по физике с нуля.
Ответы и пояснения
- Путь 13 м, проекция перемещения +3 м. Длины участков: 8 м и 5 м; путь 8 + 5 = 13 м. Проекция: 3 − 0 = +3 м.
- Путь 15 м, проекция перемещения −3 м. Длины участков: 6 м, 3 м и 6 м; путь 6 + 3 + 6 = 15 м. Проекция: 1 − 4 = −3 м.
- Путь 10 м, проекция перемещения −2 м. Длины участков: 4 м и 6 м; путь 4 + 6 = 10 м. Проекция: −7 − (−5) = −2 м.
- Путь 12 м, проекция перемещения 0 м. Каждый из двух участков имеет длину 6 м, поэтому путь равен 12 м. Конечная и начальная координаты совпадают: 2 − 2 = 0 м.
- Путь 9 м, проекция перемещения −9 м. Длины участков: 6 м и 3 м; путь 6 + 3 = 9 м. Проекция: −9 − 0 = −9 м. Разворота нет, поэтому путь равен модулю перемещения.
- Путь 28 м, проекция перемещения 0 м. Длины участков: 9 м, 14 м и 5 м; путь 9 + 14 + 5 = 28 м. Тело вернулось к координате начала движения: 3 − 3 = 0 м.