Чтобы найти синус острого угла в прямоугольном треугольнике, разделите длину противолежащего этому углу катета на длину гипотенузы. В задачах ниже обе стороны уже известны: нужно правильно определить их по обозначениям и составить дробь.
Это отношение приведено в учебных материалах OpenStax. Сначала разберём два примера, затем можно решить шесть задач и свериться с ключом.
Как выбрать стороны для отношения
В треугольнике ABC буквы A, B и C обозначают вершины, а записи AB и BC — стороны между соответствующими вершинами. Если угол C равен 90°, против него лежит гипотенуза AB. Стороны AC и BC образуют прямой угол и называются катетами.
Для угла A противолежащая сторона — BC: она не содержит вершину A. Поэтому во всех следующих условиях:
sin A = BC / AB.
Длины даны в сантиметрах, сокращённо — см. При делении одной длины на другую единицы сокращаются, поэтому ответ записывают числом или дробью без сантиметров.
Если сторона неизвестна, то из того же равенства можно выразить её: BC = AB × sin A, а AB = BC / sin A. Для задач ниже эти преобразования не понадобятся: в них ищем именно синус.
Пример 1. Сокращаем полученную дробь
В прямоугольном треугольнике ABC угол C равен 90°, гипотенуза AB = 10 см, катет BC = 6 см. Найдите sin A.
- Против угла A лежит катет BC.
- Гипотенуза — AB. Записываем отношение: sin A = BC / AB.
- Подставляем длины: sin A = 6 / 10.
- Делим числитель и знаменатель на 2: получаем 3/5.
Ответ: 3/5. Дробь меньше единицы, как и должно быть в этой задаче: катет короче гипотенузы.
Пример 2. Оставляем дробь без сокращения
В прямоугольном треугольнике ABC угол C равен 90°, гипотенуза AB = 13 см, катет BC = 5 см. Найдите sin A.
Катет против угла A — BC, а гипотенуза — AB. Подставляем данные в том же порядке: sin A = 5/13. Числа 5 и 13 не имеют общего делителя больше единицы, поэтому дробь сокращать не нужно.
Ответ: 5/13. Не округляйте дробь, если в условии не просят приближённое значение: точный ответ уже получен.
Шесть задач для самостоятельного решения
В каждой задаче сначала определите гипотенузу и сторону против угла A, затем запишите отношение и, если возможно, сократите дробь.
- В прямоугольном треугольнике ABC угол C равен 90°, гипотенуза AB = 25 см, катет BC = 7 см. Найдите sin A.
- В прямоугольном треугольнике ABC угол C равен 90°, гипотенуза AB = 17 см, катет BC = 8 см. Найдите sin A.
- В прямоугольном треугольнике ABC угол C равен 90°, гипотенуза AB = 20 см, катет BC = 12 см. Найдите sin A.
- В прямоугольном треугольнике ABC угол C равен 90°, гипотенуза AB = 26 см, катет BC = 10 см. Найдите sin A.
- В прямоугольном треугольнике ABC угол C равен 90°, гипотенуза AB = 50 см, катет BC = 14 см. Найдите sin A.
- В прямоугольном треугольнике ABC угол C равен 90°, гипотенуза AB = 34 см, катет BC = 16 см. Найдите sin A.
Ответы и короткие проверки
- 7/25. Противолежащий катет BC делим на гипотенузу AB: 7/25. Дробь не сокращается.
- 8/17. Отношение BC / AB равно 8/17. Общего делителя больше единицы нет.
- 3/5. Получаем 12/20; числитель и знаменатель делятся на 4.
- 5/13. Получаем 10/26; обе части дроби делятся на 2.
- 7/25. Получаем 14/50; обе части дроби делятся на 2.
- 8/17. Получаем 16/34; обе части дроби делятся на 2.
Где легко ошибиться
Не выбирайте сторону только потому, что её длина стоит первой в условии. Сначала найдите прямой угол: гипотенуза лежит напротив него. Затем определите катет относительно именно того острого угла, синус которого ищете.
Не переворачивайте отношение: в числителе стоит катет, в знаменателе — гипотенуза. Если при делении получилось число больше единицы, проверьте порядок сторон и подстановку. При сокращении делите числитель и знаменатель на одно и то же число.
Если задача входит в подготовку к экзамену, пригодится отдельный материал о подготовке к ОГЭ по геометрии: чертежах, свойствах и доказательствах.